06-07年上学期同步测控优化训练高三数学导数(附答案)

高三数学同步检测(九)导数说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44分析本题主要考查如何求函数的增量.解由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)-f(x0),得Δy=f(2+0.1)-f(2)=(2+0.1)2+1-(22+1)=0.41.答案B2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则()A.f′(x0)0B.f′(x0)=0C.f′(x0)0D.f′(x0)不存在分析本题考查导数的几何意义.曲线在点x=x0处的导数,即为切线的斜率.解切线的方程为2x+y+1=0,即y=-2x-1,斜率为-2,故曲线在x=x0处的导数为-2,即f′(x0)=-20.答案C3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),则()A.f′(x)=aB.f′(x)=bC.f′(x0)=aD.f′(x0)=b分析本题主要考查导数的概念.解∵f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),.)()(00xbaxxfxxf∴f′(x0)=0limxxxfxxf)()(00=0limx(a+bΔx)=a.答案C4.★一个距地心距离为r,质量为m的人造卫星,与地球之间的万有引力F由公式F=2rGMm给出,其中M为地球质量,G为常量.则F对于r的瞬时变化率是()A.rGMm2B.3rGMmC.4rGMmD.32rGMm分析本题考查常见函数的导数.解法一∵F=2rGMm=2GMmr,∴F′=-2GMmr-3=-32rGMm.解法二∵F=2rGMm,∴F′=.220)()()(342222rGMmrGMmrrrGMmrGMm答案D5.函数y=xcosx-sinx的导数为()A.xsinxB.-xsinxC.xcosxD.-xcosx分析本题主要考查两个函数的差的导数的运算法则,即两个函数差的导数等于它们的导数的差.解y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.答案B6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′｜x=2等于()A.-3B.-1C.3D.1分析本题主要考查导数的几何意义,即函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率是y=f′(x0).解∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x-y-2=0的斜率,∴y′|x=2=3.答案C7.设f(x)=1)1(22xx(x≠-1),则f′(x)等于()A.3x2-2x+1B.3x2+2x+1C.3x2-2x-1D.x2-2x+1分析本题主要考查积、商函数的导数.可直接求导,也可先将函数变形,化成更便于求导的形式求导,这样可减少运算量.解法一f′(x)=]1)1([22xx=22222)1()1()1()1(])1[(xxxxx=22222)1()1()1()1)(1(2xxxxx=222)1(])1()1(4[)1(xxxxx=3x2-2x-1.解法二∵f(x)=222)1()1()1(xxx=(x+1)(x-1)2=x3-x2-x+1,∴f′(x)=3x2-2x-1.答案C8.函数y=sin2x在点M(23,6)处的切线斜率为()A.-1B.-2C.1D.2分析本题主要考查复合函数的导数及导数的几何意义.解∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,∴6|xy=2cos(2×6)=1.答案C9.★设函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P,则曲线在点P处的切线的方程为()A.y=-xB.y=xC.y=exD.y=-ex分析本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.解令1-ex=0,得x=0,∴P(0,0).∵f(x)=1-ex,∴f′(x)=-ex.∴f′(x)|x=0=-e0=-1.∴过点P(0,0),斜率为-1的直线方程是y=-x.答案A10.若曲线y=x2-1与y=1-x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于()A.6363B.-6363C.32D.32或0分析本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的位置关系,即若两直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率的乘积等于-1.解因为两直线垂直且导数都存在且分别为y′=2x,y′=-3x2,所以(2x)·(-3x2)=-1,即x=6363.答案A第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.曲线y=2x3-x+2在点(1,3)处的切线方程是.分析本题考查导数的应用及其几何意义.解∵y=2x3-x+2,∴y′=6x2-1.当x=1时,y′=6-1=5,∴直线的斜率为5,且过点(1,3).∴直线方程为y-3=5(x-1),即5x-y-2=0.答案5x-y-2=012.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2,则t=2秒时,汽车的瞬时速度是.分析本题考查导数的物理意义,即瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数.解∵s(t)=2t3-5t2,∴s′(t)=6t2-10t.∴s′(t)|t=2=6×22-10×2=4.答案413.若曲线y=-x3+3与直线y=-6x+b相切,则b为.分析本题考查导数的几何意义.关键是确定曲线上哪一点的导数等于-6.解y′=-3x2.令y′=-3x2=-6,得x=±2.把x=2代入曲线方程中,得y=3-22.把x=-2代入曲线方程中,得y=3+22.因为曲线与直线y=-6x+b相切,所以切点也在直线y=-6x+b上.分别把(2,3-22)、(-2,3+22)代入直线方程中,得b1=3+42,b2=3-42.答案3±4214.★若f′(x0)=1,则kxfkxfk2)()(0lim00.分析本题考查导数的定义及极限的运算法则.根据导数的定义式,把原式进行一系列变形,凑定义式的结构形式.至于用什么字母或符号表示自变量增量无关紧要.解.21121)(21)()(lim212)()(lim0000000xfkxfkxfkxfkxfkk答案21三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,试求a的值.分析本题考查利用导数求参数的值.解题的关键是利用导数会列参数的方程.解∵f(x)=ax3+3x2+2,∴f′(x)=(ax3)′+(3x2)′2分=3ax2+6x.4分∵f′(-1)=4,∴3a-6=4.6分∴a=310.8分16.(本小题满分8分)假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(精确到0.01)分析本题考查指数函数的导数及导数的实际意义.解∵p0=1,∴p(t)=1.05t.2分根据基本初等函数的导数公式,有p′(t)=1.05tln1.05.4分∴p′(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).7分因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.8分17.(本小题满分8分)求函数y=(x+1)(x1-1)的导数.分析本题主要考查函数的和、差、积的导数,培养灵活地处理问题的能力.可以整体运用u·v型求导公式,也可先把函数式展开变形后再求导.做一做,比较一下.解法一∵y=(x+1)(x1-1),∴y′=(x+1)′(x1-1)+(x+1)(x1-1)′3分=x21(x1-1)-(x+1)xx215分=-x21(1+x1).8分解法二∵y=(x+1)(x1-1)=21x+21x,∴y′=-23212121xx=).11(21xx18.★(本小题满分10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.分析本题考查导数的几何意义.函数在x=2处的导数等于直线y=x-3的斜率.由题意构造出关于a、b、c的方程组,然后求解.解∵f(1)=1,∴a+b+c=1.①2分又f′(x)=2ax+b,∵f′(2)=1,∴4a+b=1.②3分又切点(2,-1),∴4a+2b+c=-1.③6分把①②③联立得方程组.124,14,1cbabacba解得,9,11,3cba9分即a=3,b=-11,c=9.10分19.(本小题满分10分)设,1,,1,)(2xbxaxxxf试讨论当a、b为何值时,f(x)在x=1处可导.分析本题考查分段函数在接点处的导数.需依据导数的定义,分别求解此函数在接点处的左导数与右导数.解要使f(x)在x=1处可导,则f(x)在x=1处必连续,则1limx+f(x)=f(1),即a+b=1.2分又若0limxxy存在,则当x=1时,有0limxxy=0limxxy.5分∵0limxxy=0limxxx1)1(2=0limx(2+Δx)=2,0limxxy=0limx,)1(bxbaxba7分∴b=2,a=-1,即当a=-1,b=2时,函数f(x)在x=1处可导.10分