数列单元试题4

新课标数学必修5第2章数列单元试题（4）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．互不相等的三个正数a、b、c成等差数列，又x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，那么x2、b2、y2这三个数（）A．成等比而非等差B．成等差而非等比C．既成等比又成等差D．既非等差又非等比考查数列定义及综合运用．【解析】依题意：a+c=2b①x2=ab②y2=bc③由②③可得a=bx2，c=by2代入①式得：bx2+by2=2bx2+y2=2b2．【答案】B2．数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为31的等比数列，则an等于（）A．23（1－n31）B．23（1－131n）C．32（1－n31）D．32（1－131n）考查等比数列的认识．【解析】an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1），即等比数列的前n项和，依公式可知选A．【答案】A3．已知0abc1，且a、b、c成等比数列，n为大于1的整数，那么logan、logbn、logcn（）A．成等比数列B．成等差数列C．倒数成等差数列D．以上均不对考查等比、等差数列概念、对数运算．【解析】由已知ac=b2，又logna+lognc=lognac=lognb2=2lognb，故nalog1+nclog1=nblog2．【答案】C4．已知1是a2与b2的等比中项，又是a1与b1的等差中项，则22baba的值是（）A．1或21B．1或－21C．1或31D．1或－31考查等比中项以及变形能力．【解析】依题意abbaabbabaabba222111122即∴原式=22baba=abbaab2)(22=abbaab24222=121ab，当ab=1时，原式=1，当ab=－1时，原式=－31．【答案】D5．Sn=1－2+3－4+5－6+…+（－1）n+1·n，则S100+S200+S301等于（）A．1B．－1C．51D．52考查一般数列求和整体代换思想．【解析】S100=－50，S200=－100，S301=－150+301，故S100+S200+S301=1．【答案】A6．正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4为（）A．28B．32C．35D．49考查等比数列性质及应用．【解析】∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）．【答案】A7．已知数列{an}通项an=9998nn（n∈N*），则数列{an}的前30项中最大的项为（）A．a30B．a10C．a9D．a1考查数列通项意义及变形能力．【解析】an=1+999899n，∴a10最大．【答案】B8．在等比数列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于（）A．4n－1B．31（4n－1）C．31（2n－1）2D．（2n－1）2考查等比数列概念、求和．【解析】由Sn=2n－1，易求得an=2n－1，a1=1，q=2，∴{an2}是首项为1，公比为4的等比数列，由求和公式易知选B．【答案】B9．数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n－1，…的前n项和为（）A．2n－n－1B．2n+1－n－2C．2nD．2n+1－n考查一般数列求和的技巧．【解析】an=2n－1，∴Sn=（2+22+…+2n）－n=2n+1－n－2．【答案】B10．若{an}的前8项的值各异，且an+8=an，对于n∈N*都成立，则下列数列中，可取遍{an}前8项的值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a6k+1}考查数列基本知识及分析问题能力．【解析】∵k∈N*，k=1、2、3…当k=1、2、3…7、8时，a2k+1均取奇数项，而无偶数项，∴{a2k+1}不符．而当k取以上值时，{a3k+1}可以取遍前8项．【答案】B第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．考查等比数列求和公式的本质形式．【解析】a1=S1=3+b，n≥2时，an=Sn－Sn－1=2×3n－1．an为等比数列，∴a1适合通项，2×31－1=3+b，∴b=－1．【答案】－112．已知等差数列lgx1，lgx2，…，lgxn的第r项为s，第s项为r（0rs），则x1+x2+…+xn=_______．考查数学化归能力．【解析】1111101)1(lg)1(lgrsxdrdsxsdrxlgxn+1－lgxn=－1nnxx1=101．∴{xn}为等比数列，且q=101．∴x1+x2+…+xn=qqxn1)1(1=nnrs109)110(10．【答案】nnrs109)110(1013．若{an}是递增数列，对于任意自然数n，an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是_______．考查数列和不等式基本知识．【解析】因为{an}为递增数列，∴n2+λn（n－1）2+λ（n－1）（n≥2）即2n－1－λ（n≥2）λ1－2n（n≥2）要使n∈N*恒成立，则λ－3．【答案】λ－314．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的43，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________．考查把实际问题转化为数学问题的能力．【解析】每次能洗去污垢的43，就是存留了41，故洗n次后，还有原来的（41）n，由题意，有：（41）n1%，∴4n100得n的最小值为4．【答案】4三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=20，a1，a2，a4成等比数列，求集合A={x|x=an，n∈N*且100x200}的元素个数及所有这些元素的和．考查等差、等比数列概念、求和公式及集合基本知识的应用．【解】设{an}公差为d，则a2=a1+d，a4=a1+3d∵a1、a2、a4成等比数列，∴（a1+d）2=a1（a1+3d）d=a1．又∵a1+（a1+d）+（a1+2d）+（a1+3d）=4a1+6d=20．解得：a1=d=2，∴x=an=2+2（n－1）=2n∴A={x|x=2n，n∈N*且100x200}∵1002n200，∴50n100．∴集合A中元素个数100－50－1=49（个）由求和公式得：S=2)198102(×49=7350．16．（本小题满分10分）已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185．（1）求通项；（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力．【解】（1）设{an}公差为d，有185291010811dada解得a1=5，d=3∴an=a1+（n－1）d=3n+2（2）∵bn=an2=3×2n+2∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+…+（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6×2n+2n－6．17．（本小题满分12分）设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2·b4=a3，分别求出{an}及{bn}的前10项和S10和T10．考查等差数列、等比数列的性质及求和．【解】∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列．∴a2+a4=2a3，b2·b4=b32由已知a2+a4=b3，b2b4=a3，∴b3=2a3，a3=b32b3=2b32，∵b3≠0，∴b3=21，a3=41．由a1=1，a3=41{an}公差d=－83．∴S10=10a1+2910d=－855由b1=1，b3=21，知{bn}公比为q=±22．当q=22时，T10=3231（2+2）当q=－22时，T10=3231（2－2）．18．（本小题满分12分）已知{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）是否存在正整数k，使221kksS2成立．考查数列通项与前n项和关系及综合分析能力．【解】（1）由题意，Sn+an=4，Sn+1+an+1=4，∴（Sn+1+an+1）－（Sn+an）=0即2an+1－an=0，an+1=21an，又2a1=S1+a1=4，∴a1=2．∴数列{an}是以首项a1=2，公比为q=21的等比数列．（2）Sn=211)21(12n=4－22－n．23211232022322322242242221111211kkkkkkkkSS∵k∈N*，∴2k－1∈N*．这与2k－1∈（1，23）相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立．19．（本小题满分12分）已知函数f（x）=（2）x+a的反函数f－1（x）的图象过原点．（1）若f－1（x－3），f－1（2－1），f－1（x－4）成等差数列，求x的值；（2）若互不相等的三个正数m、n、t成等比数列，问f－1（m），f－1（t），f－1（n）能否组成等差数列，并证明你的结论．考查函数与反函数概念、等差、等比的判定及综合知识能力．【解】（1）∵f－1（x）图象过（0，0），可知原函数过（0，0）∴有（2）0+a=0a=－1∴f（x）=（2）x－1，值域{y|y－1}由y+1=（2）xx=log2（y+1）∴f－1（x）=log2（x+1）（x－1）∵f－1（x－3）=log2（x－2），f－1（2－1）=log22=1，f－1（x－4）=log2（x－3）∴log2（x－2）（x－3）=（2）2=2解得：x1=4，x2=1，而又∵1413xxx3，∴x=4．（2）假设f－1（m），f－1（t），f－1（n）组成等差数列，则有：2log2（t+1）=log2（m+1）+log2（n+1）即（t+1）2=（m+1）（n+1）化简得：2t=m+n①又∵m、t、n成等比数列∴t2=mnt=mn代入①式得2mn=m+n即（m－n）2=0∴m=n，这与已知三数m、n、t互不相等矛盾．∴f－1（m）、f－1（t）、f－1（n）不能组成等差数列．