高三年级第二次阶段性测试数学试卷

高三年级第二次阶段性测试数学试卷数学试卷（B卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每题5分，共60分）1．已知集合A={0，2，3}，B={aabxx,|、Ab}，则B的子集的个数是（）A．15B．4C．8D．162．15cos75cos的值等于（）A．22B．26C．－26D．－223．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数、又是偶函数的函数一定是).(0)(Rxxf其中正确的命题的个数是（）A．4个B．1个C．2个D．3个4．在等差数列1，4，7，……中，5995是它的（）A．第1999项B．第2005项C．第2003项D．第2001项5．设集合}2|{xxM，}3|{xxP，那么“PxMx或”是“MPx”的（）A．非充分条件也非必要条件B．充分条件但非必要条件C．必要条件但非充分条件D．充分必要条件6．函数243)31(xxy的单调递增区间是（）A．[2，+∞)B．[1，2]C．[2，3]D．（－∞，2]7．已知等比数列的公比是2，且前4项的和是1，那么前8项之和为（）A．21B．15C．17D．198．关于函数))(32sin(4)(Rxxxf，有下列命题①由必是可得21210)()(xxxfxf的整数倍；②)(xfy的表达式可改写为)62cos(4xy；③)(xfy的图象关于点)0,6(对称；④)(xfy的图象关于直线6x对称；其中正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④9．关于x的方程1||axx，只有负根而无正根，则a的取值范围是（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．（1，+∞）D．),1[10．如果奇函数)(xf在区间[3，7]上是增函数，且最值为5，那么f(x)在[－7，－3]上是（）A．减函数且最大值为－5B．增函数且最大值为－5C．增函数且最小值为－5D．减函数且最小值为－511．要得到函数)23cot(xy的图象，可将xy2tan的图象（）A．向右平移12个单位B．向左平移6个单位C．向右平移6个单位D．向左平移12个单位12．如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（）A．402B．202C．203D．206第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（每题4分，共16分）13．函数xxy312log2的定义域为.14．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个等差数列，则插入的两个数分别是.15．已知yxyx11,8123则.16．函数xxy33cossin在]4,4[上的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题12分）求函数xxxxy22sin23cossincos21的最小正周期.18．（本小题12分）一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。19．（本小题12分）数列na的通项公式).1()1)(1)(1()(*),()1(13212nnaaaanfNnna设（1）求：f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值；（2）由上述结果推测出计算f(n)的公式，并用数学归纳法加以证明.20．（本小题满分12分）产品进入市场，满足的销售规律是价格越高，销售量越少。若某产品的价格为每吨p万元，销售量为q吨，则p与q满足关系)305(30ppq，（1）若该产品在某地市场被一个公司垄断，试说明该公司为获得最大收入，不会一味追求价格的提高，并求出收入最大时该产品的价格；（2）若该产品由甲、乙两家公司销售，它们的销售量分别记作q甲、q乙，于是p=30－（q甲+q乙），若乙公司的销售量为10吨，请问甲公司销售量为多少时，其收入最大？（3）两个公司在市场上相互竞争与联合垄断相比，哪一种情况对购买这种产品的消费者不利？请证明你的结论。21．（本小题12分）函数)(xfy是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时，1)(xxf，在)(xfy的图象上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为（0,a）（其中a2），求△ABC面积的最大值.22．（本小题满分14分）已知)2(41)(2xxxf，（1）设}{*,),(1,1111nnnaNnafaa求的通项；（2）求nnnnnnaaaaa212122lim；（3）设,,1222221nnnnnSSbaaaS是否存在整数m，对一切n∈N*，都有25mbn成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.高三数学（B卷）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1.D2.D3.B4.A5.C6.A7.C8.B9.D10.C11.D12.D1．易知B={0，4，6，9}，∴B的子集数为24=16。2．15cos15sin60sin15cos60cos15cos)1560cos(15cos75cos=22)1560cos()15sin60sin15cos60(cos15sin60sin)15cos15cos21(.3．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，反例：02,xyxy等，∴①错误，③正确。奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，反例：1xy，∴②错误。若)(xfy既是奇函数又是偶函灵敏，由定义可得f(x)=0，但未必Rx（只要定义域关于原点对称就可以）。4．易知5995,23nnana由得n=1999。5．Mx，则x不一定属于P，即x不一定属于M∩P，故充分性不成立；若,MPxPxMx,是，必要性成立。6．xy)31(是减函数，∴函数243)31(xxy的单调递增区间是函数y=－3+4x－x2的单调递减区间，而y=－3+4x－x2的单调递减区间是),2[。7．.1621)((444321444342418765qaaaaqaqaqaqaaaaa∴.171618218aaaS8．函数)32sin(4)(xxf的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是22T，知①错；利用诱导公式得).62cos(4)26cos(4)]32(2cos[4)(xxxxf知②正确；由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将6x代入得;00sin4]3)6(2sin[4)(xf因此点（－0,6）是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确；曲线f(x)的对称必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而6x时y=0，点（－0,6）不是最高点也不是最低点，故直线6x不是图象的对称轴，因此④不正确。9．显然,01,1)1(,1,0,0axaaxxxx则若∴,11,0;1axxxa则若.1.01,1)1(aaxa∴仅有负根时a1。（也可用图象解答）。10．因奇函数在[3，7]和[－7，－3]上有相同的单调性，所以f(x)在[－7，－3]上也是增函数，所以排除两种可能，又奇函数在[3，7]有最小值5，所以在[－7，－3]有最大值－5。11．).12(2tan)]23(2tan[)23cot(xxxy∴这是由y=tan2x向左平移12个单位而得。12．在△ABC中，由正弦定理：,sinsinCADCDADCAC.220AC得在△BCD中，由正弦定理：240,sinsinBCCBDCDCDBBC得.在△ABC中由余弦定理得AB=206.二、填空题（每小题4分，共16分）13．}321|{xx14．6和1815．3216．113．由xxy312log2知真数大于零，即3210)3)(12(0312xxxxx解得得14．设这两个数为2q，2q2，则有4q2=2q+30，∴q1=3，q2=25（舍），∴这两个数为6和18。15．两边取以2为底的对数：312log,33log22yx.∴,12log3,3log322yx∴241log12log3log33222yx∴.3211yx16．对x求导数：xxxxxxy2233cossin3cossin3)(cos)(sin=).4sin(2sin223)cos(sinsin3xxxxxcox在)4,4(，令y=0，可解得x=0.而f(0)=1，.22)4(,0)4(ff∴最大值为1.三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题12分）解：)42sin(2212cos212sin21122cos1232sin2122cos121xxxxxxy所以最小正周期22T.18．（本小题12分）解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(（2）易知).31,6(~B∴.2316E.34)311(316D19．（本小题12分）解：（1）,432111)1(21af,649843)1)(1()2(21aaf,85161564)1)(1)(1()3(321aaaf.106252485)1)(1)(1)(1()4(4321aaaaf（2）推测.)1(221)(nnf下面用数学归纳法证明：①当n=1时，,43)11(221)1(f∴等式成立.②假设n=k+1时等式成立∴即,)1(22)(kkkf则②当n=k+1时，有221)2()3)(1()1(22])2(11[)1(22)1()()1(kkkkkkkkakfkfk=,]1)1[(22)1()2(23kkkk当n=k+1时，当n=k+1时，等式)1(22)(nnnf也成立，由①、②知对任意正整数n，)1(22)(nnnf都成立.20．（本小题满分12分）解：（1）设该公司收入为S，则S=pq，∵p+q=30，∴S=pq.225)230()2(22qp当p=q=15时，S=225，这时公司收入最大，∴公司不会无限提高价格.（2）设甲公司收入为S甲，∵p+q甲+q乙=30，q乙=10，∴p+q甲=20，与（1）同理知p=q甲=10时，S甲=100，这是S甲的最大值，即甲公司的销量为10吨（与乙相等）时收入最多.（3）对消费者是否有利主要是两个指标：产品价格和销量，如产品价格高且销量小对消费者不利.设甲、乙联合垄断市场，这种情况相当于（1），两公司为追求最大收入，产品的市场价格15万元，总销量15吨，若不允许甲、乙联合垄断市场，设q乙0，又p+q甲=30－q乙，则,)230()2(22乙甲甲甲qqpqpSS甲在p=q甲=230乙q时最大，易见p=230乙q15.显然，这时的产品市场价比垄断时低，还可看到，非垄断比垄断时的产品销量也大，事实上，q甲+q乙=30－9=30－230乙q=230乙q15.综上可知，垄断对消费者不利.21．（本小题12分）解：如图，∵f(x)是以2为周期的周期函数，,1)(,]3,2[xxfx时∴当11)2()2()(,]1,0[x