高三第一学期期中数学试卷

高三第一学期期中数学试卷数学学校___________班级___________姓名___________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数)(2Rxyx的值域为集合M，函数)(2Rxxy的值域为集合N，则（）（A）}4,2{NM（B）}16,4{NM（C）M=N（D）NM2．函数)10(||aayx的图像是（）3．成等差数列的3个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列。那么这三个数的乘积等于（）（A）210（B）105（C）70（D）354．不等式114xx的解集是（）（A）),3[]1,(（B）),3[)1,1[（C）[-1，3]（D）),1[)3,(5．若Rba,则“ab”的一个充分必要条件是（）（A）0))((22bababa（B）22ba（C）ba11（D）1na1nb6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=-f（x），且在[0，4]上是减函数，则（）（A）f（10）f（13）f（15）（B）f（13）f（10）f（15）（C）f（15）f（10）f（13）（D）f（15）f（13）f（10）7．设函数)0(1)0(0)0(1)(xxxxf，则)(2)()(babafbaba的值应为（）（A）|a|（B）|b|（C）a，b之中较小的数（D）a，b之中较大的数8．已知|log|)(2xxf，若f（a）f（2.5），则a的取值范围是（）（A）)25,1()52,0(（B）),52(（C）),25()52,0(（D）)25,52(二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．若)2(1)(2xxxf，则)4(1f_________。10．已知iziz5,3221，那么||21zz___________。又若zzf1)(，那么)(21zzf___________。11．已知)25,0(x，则当x=___________时，x（5-2x）的最大值是___________。12．首项为1，公比为q（q0）的等比数列前n项和为nS，则1limnnnSS___________。13．有一组数据：)(,,2121nnxxxxxx，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的nx，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x，余下数据的算术平均值为11。则1x关于n的表达式为___________；nx关于n的表达式为___________。14．从3男7女共10个人中选出5人，若其中甲、乙两人必选在内，共有___________种不同的选法；（用数字作答）若至少有一名男生被选在内，共有___________种不同的选法。（用数字作答）三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分14分）（理科学生作）解关于x的不等式3log1logxxaa其中0a1（文科学生作）解不等式3log1log2121xx16．（本小题满分12分）已知复数z满足aizizz32其中a是实数（Ⅰ）求复数z（写成关于a的表达式）（Ⅱ）当实数a为何值时，满足条件的复数z存在？17．（本小题满分14分）已知一次函数y=f（x）满足f（0）=1，又点),(1nnnaanA（n=1，2，3，…）在这个一次函数y=f（x）的图像上，若11a，且当2n时，恒有111nnnnaaaa（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）分别写出432,,aaa的值，并求出数列}{na的通项公式。请予以证明。18．（本小题满分12分）经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量f（n）（万件）近似地满足下列关系：)235)(1(1501)(nnnnf（n=1，2，3，…，12）（Ⅰ）写出明年第n个月这种商品需求量g（n）（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；（Ⅱ）若计划每月该商品的市场投放量都是p万件，并且要保证每月都满足市场需求，则p至少为多少万件？19．（本小题满分16分）已知数列}{na中，01a，且231nnaa。（Ⅰ）试求1a的值，使得数列}{na是一个常数数列；（Ⅱ）试求1a的取值范围，使得nnaa1对任何自然数n都成立；（Ⅲ）若41a，设)3,2,1(||1naabnnn，并以nS表示数列}{nb的前n项的和，试证明：25nS。20．（本小题满分12分）（理科学生作）已知二次函数),()(2Rbabaxxxf的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M。（Ⅰ）试证明Mb|1|；（Ⅱ）试证明21M；（Ⅲ）当21M时，试求出f（x）的解析式。（文科学生作）设二次函数),,()(2Rcbacbxaxxf若4321xxxx且3241xxxx（Ⅰ）试证cxaxxxfxfxf4141412)()()(（Ⅱ）试比较41xx与32xx之间的大小关系。（Ⅲ）试比较)()(41xfxf与)()(32xfxf之间的大小关系。高三数学第一学期期中练习参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）1D2C3B4B5A6B7D8C二、填空题（每小题5分，若有两空时，其中第一空3分，第二空2分。共30分。）9．510．5；4-4i11．825;4512．)1(1)10(1qqq13．11-n；n+914．56；231三、解答题（共80分）15．（本题满分14分）解：设：txalog，代入原不等式得(*)31tt…………3分上述不等式（Ⅰ）2)3(10103tttt或（Ⅱ）0103tt……………………8分又由（Ⅰ）0)5)(2(3ttt解得53t由（Ⅱ）解得31t∴不等式（*）的解集为}5331|{ttt或，即}51|{tt。……………………12分（理科评分）∴5log1xa∵0a1，∴axa5即原不等式的解集为}|{5axax。……………………14分（文科评分）∴5log121x21321x即原不等式的解集为}21321|{xx。……………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设，),(Ryxyixz，则yixz………………2分代入题设)(32Raaizizz得：aiyixiyixyix3)(2)()(……………………4分整理后，由复数相等的定义得方程组：axyyx23222………………6分034222ayy………………8分可得：iaaz216222………………10分（Ⅱ）∵Ry，∴0)34(442a解出44a…………………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）设y=f（x）=kx+b，∵f（0）=1∴b=1………………………………………………………………3分又nA在y=f（x）的图像上，∴11knaann，又1)1(1nkaann，而由11)1(111nkknaaaannnn∴k=1……………………………………………………………………6分∴f（x）=x+1（Ⅱ）∵,1,111anaann当n=1时，由212aa，得212a当n=2时，由323aa，得3213a当n=3时，由434aa，得43214a……………………7分猜想：nan！……………………………………………………9分下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，结论正确；（2）假设当)1(nkkn时结论成立，即kak！则当n=k+1时，)1()1(!)1(1kkkkaakk！结论亦正确。由（1）、（2）可知原式nan！对任何Nn都成立，…………14分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）当n=1时，2511)1()1(fg；……………………2分当2n时，)12(251)1()()(2nnnfnfng（经检验对n=1也成立）∴))(12(251)(2Nnnnng………………………………5分解不等式4.1)12(2512nn得5n7∵Nn，∴n=6。即第6个月的需求量超过1.4万件。………………………………7分（Ⅱ）由题设可知，对于n=1，2，…，12恒有：)(nfnp，即)235()1(1501nnp…………………………………………9分]35833)433(2[150122n当且仅当n=8时，14.15057minp∴每月至少投放1.14万件。…………………………………………12分19．（本题满分16分）解：（Ⅰ）欲使数列}{na是一个常数数列，则nnnaaa231，……………………2分又依01a，可以推得0na并解出：23na即2321aa…………………………………………4分（Ⅱ）研究232311nnnnaaaa)2()2323(211naaaannnn……………………6分注意到：0)2323(21nnaa因此，可以得出：122111,,,,aaaaaaaannnnnn有相同的符号。…………………………………………………………………………8分要使nnaa1对任意自然数都成立，只须012aa即可。由02311aa，解得：2301a。…………10分（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法，可得当231a时，nnaa1对任何自然数n都成立。因此当41a时，01nnaa……………………12分∴nnbbbS21||||||12312nnaaaaaa13221nnaaaaaa1411naaan…………………………………………14分又：12nnaa即1123nnaa可得231na，故25234nS……………………16分20．（本题满分12分）（理科评分）（Ⅰ）证明：∵|1||)1(|bafM|1||)1(|bafM……………………2分|1||1|2babaM|)1(2||)1()1(|bbaba=2|1+b|……………4分∴|1|bM（Ⅱ）证明：依题意，|)1(|fM，|)1(||,)0(|fMfM又：|1||)1(|baf|1||)1(|baf|||)0(|bf………………………………………………………5分∴|1||)1(|4bafM|1|||2|1|babba2|)1(2)1(|babba…………10分∴21M（Ⅲ）解：依21M时，21|||)0(|bf2121b①同理21121ba②21121ba③②+③得：2123b④由①，④得：21b当21b时，分别代入②、③，得：1001aa∴a=0因此，21)(2xxf……………………12分（文科评分）解：（Ⅰ）)()(41xfxfcxxbxxa2)()(412421cxxbxaxxxa2)(2)(4141241………………2分cxaxxxf41412)(……………………………………4分（Ⅱ）令uxxxx3241则2314,xuxxux研究：)()(11224132xuxxuxxxxx))((2121uxxxx0))((