高三4月模拟考试理科数学试卷

张家界市一中2007届高三4月模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1．2)3(31ii[B]A．41B．21C．i4341D．i43212．下列命题中，正确的个数是[B]①若|a→|＋|b→|＝0，则a→＝b→＝o→；②在△ABC中，若OA→＋OB→＋OC→＝O→，则O为△ABC的重心；③若a→，b→是共线向量，则a→·b→＝|a→|·|b→|，反之也成立；④若a→，b→是非零向量，则a→＋b→＝o→的充要条件是存在非零向量C→，使a→·c→＋b→·c→＝0．A．1B．2C．3D．43．若命题P：x∈A∩B，则﹁P[B]A．x∈A且x∈BB．x∈A或x∈BC．x∈A且x∈BD．x∈A∪B4．已知函数f(x)＝log2|ax－1|(a≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a的值为[C]A．1B．14C．－12D．－15．已知f(x)＝2x＋3,(x∈R)，若|f(x)－1|＜a的必要条件是|x＋1|＜b，(a、b＞0)．则a、b之间的关系是[C]A．a≤b2B．b＜a2C．b≥a2D．a＞b26．已知)2(),1(3)(2ffxxxf则=[A]A．0B．2C．4D．87．如图，在∠AOB的两边上分别为A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4、B5共9个点，连结线段AiBi（1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有[A]对“和睦线”（）A．60B．62C．72D．1248．函数y＝－3sinx＋cosx在x∈[－π6,π6]时的值域是[C]A．[0,62]B．[－3,0]C．[0,3]D．[0,1]9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是[C]A．15B．14C．13D．1210．已知椭圆12222byax的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上，211FFAF=0221cAFAF，则椭圆的离心率e=[C]A．33B．213C．215D．22第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上）11．若数列x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则(a1＋a2)2b1·b2的取值范围是(－∞,0)∪[4,＋∞]．12．将函数y＝x2的图象F按向量a→＝(3,－2)平移到F′，则F′的函数解析式为y＝x2－6x＋7．13．设随机变量ξ服从正态分布N(1,22)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c=5(参考数据：φ(2)＝0.9773)14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a≥b时，a○＋b＝a；当a＜b时，a○＋b＝b2；则函数f(x)＝(1○＋x)·x―(2○＋x)，x∈[―2,2]的最大值等于6(“·”与“－”分别为乘法与减法)．15．设,)1(log)1(2)(2xxxaxxf若)(lim1xfx存在，则常数a__－2.三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．16．(本小题满分12分)已知向量OA→＝(cos4x,－1)，OB→＝(1,cin4x＋3sin2x)，x∈R，f(x)＝OA→·OB→．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0,π2]，求f(x)的最值及相应的x值．解：f(x)＝OA→·OB→＝cos4x―sin4x―3sin2x＝cos2x－3sin2x＝2cos(2x＋π3)．(1)函数f(x)的最小正周期T＝π．(2)．∵x∈[0,π2]∴2x＋π3∈[π3,4π3]．∴当2x＋π3＝π3即x＝0时，f(x)mox＝1．当2x＋π3＝π即x＝π3时，f(x)min＝－2．17．(本小题满分12分)某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为12．（1）求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，求该小组做实验的次数的概率分布列和期望．解：（1）设5次实验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少2次成功为事件C，则P(C)=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)------------------2分=1-505515)21()21(CC=1613所以5次实验至少2次成功的概率为1613.---------------------5分(2)的可能取值为2,3,4,5.又∵41)21()2(2P；41)21()3(312CP163)21()4(413CP165)21()21()21()5(515505514CCCP-----------9分（每对一个得1分）∴的分布列为：2345P4141163165----------------------------10分∴Eξ=41×2+41×3+163×4+165×5=1657-------------------------12分18．(本小题满分12分)平面内有向量OA→＝(1,7)，OB→＝(5,1)，OP→＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．(1)当QA→·QB→取最小值时，求OQ→的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．解：设OQ→＝(x.y)，∵OQ→与OP→共线x＝2y．∴OQ→＝(2y,y)，又QA→＝OA→－OQ→＝(1―2y,7―y)，QB→＝OB→－OQ→＝(5―2y,1―y)．∴QA→·QB→＝(1―2y)(5―2y)＋(7―y)(1―y)＝5y2－20y＋12＝5(y―2)2―8≥―8．此时y＝2，OQ→＝(4,2)．(2)当OQ→＝(4,2)时，QA→＝(－3,5)，QB→＝(1,－1)，QA→·QB→＝－8．∴cos∠AQB＝QA→·QB→|QA→|·|QB→|＝－834·2＝－41717．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCDP中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=2，aADPAAB31，52arccosADC．（Ⅰ）求点D到平面PBC的距离；（Ⅱ）求二面角APDC的大小．解：（Ⅰ）如图，在四棱锥ABCDP中，∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.∵∠ABC=2，∴AB⊥BC，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，………………2分∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而aPAAB，∴aAE22．………5分即点D到平面PBC的距离为a22．………………6分（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，∴MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CN⊥PD，·ABpxoyQ∴∠CNM是二面角APDC的平面角．…………9分依题意52arccosADC，aADPAAB31，∴213tanBCaaBCADABADC，∴aBC，可知ADDM32，∴aaaaaPAADPAADMN529332322222，21052tanaaMNCMCMN，∴二面角APDC的大小为210arctan……12分解法二：如图,A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意52arccosADC，aADPAAB31，∴213tanBCaaBCADABADC，∴aBC.则)0,,(aaC，)0,,0(aB，),0,0(aP，)0,0,3(aD，∴),,0(aaPB，)0,0,(aBC，)0,,2(aaDC.设平面PBC的一个法向量为),,(zyxn，则.0,0axazayx令1z，得)1,1,0(n，则点D到平面PBC的距离等于2anDCna22．……………6分（Ⅱ）∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为)0,1,0(1n.设平面PDC的一个法向量为),,(2zyxn，∵)0,,2(aaDC，),0,3(aaPD，∴.03,02azaxayax令1x，得)3,2,1(2n，∴7141412,cos21nn.∵二面角APDC是锐二面角，∴二面角APDC的大小为714arccos．……12分20.（本小题满分13分）如图，F是抛物线xy42的焦点，Q是准线与x轴的交点，直线经过点Q。（1）直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；（2）直线与抛物线交于A，B两点，（Ⅰ）记FBFA,的斜率分别为21,kk，求21kk的值；（Ⅱ）若点R在线段AB上，且满足||||||||QBAQRBAR，求点R的轨迹方程。解：依题意0,1Q，直线斜率存在，设其斜率为k，则的方程为)1(xky，代入抛物线方程有：0)42(2222kxkxk……………2分（1）若0k，令0得，1k，此时，的方程为1,1xyxy。…………………4分若0k，方程有唯一解。此时方程为0y………5分（2）显然0k，记),(),,(2211yxByxA，则1,24212221xxkkxx，kyy421，4)1(2121221xxxxkyy………7分（Ⅰ）0)1)(1()1(2112121221121xxxxkxyxykk………………………9分（Ⅱ）设点R的坐标为),(yx，∵||||||||QBAQRBAR，∴002121yyyyyy，RyxOQFBA∴21212yyyyy…………………11分∴,248kky11211ykx，………12分由0得，11k，又0k，∴)2,0()0,2(y。综上，点R的轨迹方程为,1x)2,0()0,2(y。…………………………13分21．（本小题满分14分）已知函数22()ln(0),fxxaxxx(1)若()fx在[1,)上单调递增，求a的取值范围；(2)若定义在区间D上的函数)(xfy对于区间D上的任意两个值21xx、总有以下不等式12121[()()]()22xxfxfxf成立，则称函数)(xfy为区间D上的“凹函数”.试判断当0a时，()fx是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.解：（Ⅰ）由22lnfxxaxx，得'222afxxxx……………………2分欲使函数为[1,)上单调增函数，则'0fx在[1,)上恒成立，即不等式2220axxx在[1,)上恒成立.也即222axx在[1,)上恒成立.………………4分令22()2xxx，上述问题等价于max()ax，而22()2xxx为在[1,)上的减函数，则max()(1)0x，于是0a为所求.………………………………………………6分（Ⅱ）证明：由22lnfxxaxx得1222121212111lnln222fxfxaxxxxxx22121212121ln2xxxxaxxxx………………………………7分2121212124ln222xxxxxxfaxx………………………………………8分而2222221