高二数学下学期同步测试(2)

2004－2005学年度下学期高中学生学科素质训练高二数学同步测试（2）—直线和平面的位置关系YCY本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．下列命题：①一条直线在平面内的射影是一条直线；②在平面内射影是直线的图形一定是直线；③在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列命题中正确的是（）A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知A、B两点在平面α的同侧，AC⊥α于C，BD⊥α于D，并且AD∩BC＝E，EF⊥α于F，AC＝a，BD=b，那么EF的长等于（）A．baabB．abbaC．ba2D．2ba5．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A．21B．22C．36D．336．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是（）A．25B．211C．27D．4197．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（）A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD8．如果α∥β，AB和AC是夹在平面α与β之间的两条线段，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面α所成的角为30°，那么线段AC的长的取值范围是（）A．2333(,)34B．[1,)C．23(1,)3D．23[,)39．若a,b表示两条直线，表示平面，下面命题中正确的是（）A．若a⊥,a⊥b，则b//B．若a//,a⊥b，则b⊥αC．若a⊥,b，则a⊥bD．若a//,b//，则a//b10．如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为21和，则（）A．1sinsin2212B．1sinsin2212C．1sinsin2212D．1sinsin2212第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题每小题6分，共24分）11．已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，（1）若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC的；（2）若点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点在△ABC内，那么O点一定是△ABC的．12．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是13．如图所示，矩形ABEF与矩形EFDC相交于EF，且BE⊥CE，AB＝CD＝4，BE＝3，CE＝2，∠EAC＝α，∠ACD＝β，则cosα∶cosβ＝．14．AB∥CD，它们都在平面内，且相距28．EF∥，且相距15．EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为．三、解答题（共76分）15．（12分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.16．（12分）A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（1）求证：AB⊥CD；（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．18．（12分）在ABC中，75BAC，线段VA平面ABC，点A在平面VBC上的射影为H.求证：H不可能是VBC的垂心.19．（14分）AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBC的距离．20．（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求证：BC⊥面PAC；（2）求证：PB⊥面AMN.（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？参考答案（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案AADADDCDCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．外心、内心12．713．5：414．39或25三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）解：连结BC1交B1C于O，连结A1O在正方体ABCD—A1B1C1D1中各个面为正方形，设棱长为a,∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1B1CD∴A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影,∴∠BA1O是A1B与平面A1B1CD所成的角在Rt△A1BO中，∴A1B=2a,OB=22a,∴sinBA1O=211BAOB又∵∠BA1O为锐角,∴∠BA1O=30°,即A1B和平面A1B1CD所成的角为30°16．(12分)解（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AC=AD=2，AB=3，∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.（2）过A作BMAO于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722ACABACABBC.在△ACD中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=3.在Rt△BCM中，BC=7，CM=1，6BM..362cos222BMABAMBMABABM17．(12分)证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵F、O分别为PC、AC的中点∴FO∥PA…………①在△ABC中，∵E、O分别为AB、AC的中点∴EO∥BC,又∵BC∥AD∴EO∥AD…………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵EF平面EFO∴EF∥平面PAD．（2）在矩形ABCD中，∵EO∥BC，BC⊥CD∴EO⊥CD又∵FO∥PA，PA⊥平面AC∴FO⊥平面AC∴EO为EF在平面AC内的射影∴CD⊥EF．（3）若PDA＝45，则PA＝AD＝BC∵EO∥＝12BC，FO∥＝12PA∴FO＝EO又∵FO⊥平面AC∴△FOE是直角三角形∴FEO＝45．18．（12分）证明：假设H是VBC的垂心连结BH并延长与VC相交∵AH平面VBC∴BH是AB在平面VBC内的射影又∵VCBH∴VCAB又∵VA平面ABC∴AC是VC在平面ABC内的射影∴ACAB这与75BAC矛盾∴H不可能是VBC的垂心19．（14分）解：（1）∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC∵AB是⊙O的直径，C为圆上一点∴BC⊥AC∴BC⊥平面PAC（2）过A作AD⊥PC于D∵BC⊥平面PAC，BC平面PBC∴PAC⊥PBC，PC为交线∴AD⊥平面PBC∴AD即为A到平面PBC的距离.依题意，∠PBA为PB与面ABC所成角，即∠PBA＝45°∴PA=AB=2，AC=1，可得PC=5∵AD×PC＝PA×AC∴AD＝212555，即A到平面PBC的距离为255…20．（14分）（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC.∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.（2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN平面PAC∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，∴AN⊥面PBC，又PB平面PBC.∴AN⊥PB，又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN.（3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=42，FOABCDPEACVBH∵PM⊥AB，∴AM=21PB=22，∴PM=BM=22又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN.∴PB⊥MN,∵MN=PM·tanθ=22tanθ,∵AN⊥平面PBC，MN平面PBC.∴AN⊥MN∵AN=22222tan88tan8)22(MNAM41)21(tan4tan22tan1222121222MNANSAMN∴当tan2θ=21,即tanθ=22时，S△AMN有最大值为2，∴当tanθ=22时，S△AMN面积最大，最大值为2．