第一学期高二数学期末考试试题

2007学年度第一学期高二数学期末考试试题2008年1月完卷时间为90分钟，答案请写在答题纸上一、填空题(每小题3分，共33分)1、计算行列式的值：sincoscossinxxxx=。2、点A(3,–4)关于点M(–4,3)的对称点B的坐标是。3、经过两点A(2,6)、B(6,a)的直线的倾斜角为45o，则a=。4、等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的通项公式an=。5、经过点A(2,4)且平行于直线l：4x+3y–10=0的直线的方程是_______。6、已知直线2x+y–2=0和kx–y+1=0的夹角为4，那么k的值为。7、已知矩阵A=421y，B=876x，AB=50432219，则x+y=。8、计算：nnn321)12(531lim=。9、若|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为30o，OC=a+2b，baOD2，则|CD|=。10、无穷等比数列{an}中，an=(21)n+1，则无穷等比数列{an}的各项和为。11、设Sk＝11k+21k+……+k21，那么Sk+1–Sk=。二、选择题(每小题3分，共12分)12、直线l1：(a–2)x+(a+1)y+4=0与l2：(a+1)x+ay–9=0互相垂直，则a的值是()(A)–0.25(B)1(C)–1(D)1或–113、若PP1=–32PP，则下列各式中正确的是()(A)21PP=2PP2(B)3PP1=221PP(C)32PP=–12PP(D)12PP=3PP214、若原点到直线ax+y+8=0的距离为6，则a的值是()(A)37(B)33(C)37(D)3315、写出右图中算法的运行结果()(A)5(B)10(C)15(D)21三、解答题三、解答题(本大题要求写出解题步骤，共55分)16、(本题8分)ΔABC中A(–1,–1)、B(5,5)，垂心H(4,–1)，求第三顶点C的坐标。17、(本题8分)已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，且ba2与ba2平行，(1)求向量b；(2)已知点A(3,–1)，向量AB与ba2垂直，求直线AB的一般式方程18、(本题8分)已知向量a=(x+3,x–2)，向量b=(1–x,4)，其中0≤x≤5(1)用x表示ba；(2)求ba的最值，并求此时a、b夹角的大小。(用反三角函数表示)19、(本题9分)利用行列式方法讨论方程组解的个数，如果方程组有一组解，请写出其解：mmyxmymx2420、(本题10分)已知数列{an}中，a1=21，an+1=33nnaa，(1)求a2,a3,a4;(2)猜测an的表达式；(3)用数学归纳法证明an的表达式。21、(本题12分)(1)等比数列｛an｝，当n≥2时，a2＋a3＋…＋an=2n＋p(p为常数)，求a1，p和an(2)数列｛bn｝的前n项和为Sn，b1＝2，nbn+1＝Sn＋n(n+1)，求bn和Sn(3)若Tn＝nnaS对一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，求C的最小值。开始a←0，b←1b5a←a+bb←b+1输出a结束↓↓↓↓↓→↓否是第15题2007学年度第一学期高二数学期末考试试题答案2008年1月一、填空题1、12、(–11,10)3、104、3n5、4x+3y–20=06、–31或37、88、29、2110、6111、221121kk二、选择题12、D13、A14、C15、B三、解答题16、因为在ΔABC中A(–1,–1)、B(5,5)，垂心H(4,–1)，AH⊥BC，BH⊥AC，所以直线AH的斜率为0，则直线BC的斜率不存在，故BC的方程为：x=5，………………………………………………………2分直线BH的斜率为6，则直线AC的斜率为–61，故直线AC的方程为：y=–61(x+1)–1，……………………………………4分令1)1(615xyx，………………………………………………………5分解之得：25yx……………………………………………………………7分所以C点的坐标为(5,–2)……………………………………………………8分17、因为向量a=(1,2)，b=(x,1)，ba2=(1+2x,4)，ba2=(2–x,3)…………………………………………2分因为ba2与ba2平行，所以ba2=k(ba2)…………………………3分即：kxkx34)2(21，所以x=21，………………………………………4分b=(21,1)；……………………………………………………………………5分(2)已知点A(3,–1)，ba2=(2,4)，向量AB与ba2垂直，即直线AB的法向量为(2,4)，………………………………………………6分所以直线AB的点法向式为2(x–3)+4(y+1)=0，其一般式方程为x+2y–1=0…………………………………………………8分18、(1)因为向量a=(x+3,x–2)，向量b=(1–x,4)，其中0≤x≤5ba=(x+3)(1–x)+4(x–2)=–x2+2x–5，(0≤x≤5)……………………………3分(2)设a、b夹角为，ba=–x2+2x–5=–(x–1)2–4，(0≤x≤5)……………………………………4分所以当x=1时，(ba)max=–4，此时x=1，向量a=(4,–1)，向量b=(0,4)cos=–1717，a、b夹角的大小为π–arccos1717，……………………6分当x=5时，(ba)min=–20，此时x=5，向量a=(8,3)，向量b=(–4,4)cos=–1461465，a、b夹角的大小为π–arccos1461465。………………8分19、D=mm14=(m+2)(m–2)，Dx=mmm42=m(m–2)，Dy=mmm12=(m+1)(m–2)…………………………………………………3分(1)当m2时，D0，原方程组有唯一组解，即212mmymmx…………6分(2)当m=–2时，D=0，Dx=80，原方程组无解；………………………8分(3)当m=2时，D=0，Dx=0，Dy=0，原方程组有无穷组解。……………9分20、(1)因为a1=21，an+1=33nnaa，所以a2=73,a3=83，a4=31……………3分(2)猜测：an=53n，…………………………………………………………4分(3)当n=1时，a1=513=21，等式成立，…………………………………5分假设当n=k时等式，即：ak=53k，………………………………………6分则当n=k+1时，ak+1=33kkaa=353533kk=518359kkk=63k…………………8分即当n=k+1时，等式也成立，………………………………………………9分所以由上述可知，等式an=53n对nN*都成立。………………………10分21、(1)由于当n≥2时，a2＋a3＋…＋an=2n＋p(p为常数)，a2＋a3＋…＋an+an+1=2n+1＋p两式相减得：an+1=2n，因为数列{an}为等比数列，所以a1＝1，a2=2，…1分由条件可得p＝–2，an＝21n，(n∈N*)；…………………………………2分(2)因为数列｛bn｝的前n项和为Sn，b1＝2，nbn+1＝Sn＋n(n+1)，(n–1)bn=Sn–1+(n–1)n两式相减得：nbn+1–nbn+bn=bn+2n，(n≥2)bn+1–bn=2，(n≥2)，…………………………………………………………4分即{bn}是从第二项起为公差是2的等差数列，b2=S1+1(1+1)=4因为b1＝2，所以{bn}是公差是2的等差数列，bn=2n，(n∈N*)；……………………………………………………………5分Sn＝n2＋n；…………………………………………………………………6分(3)因为Tn=122nnn，若Tn＝nnaS对一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，则需C大于或等于Tn的最大值，……………………………………………………7分nnTT1=nnn2)2)(1()1(21nnn=nn22，令nnTT1≥1得：n≤2，即有：T1＝2≤T2＝3=T3＝3≥T4＝25≥T5＝815≥…≥Tn≥…，即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，故有Tn的最大值为T2＝T3＝3，……………………………………………9分又对一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3…………………………10分