2004高三数学联合诊断性考试(理)

2004届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）数学（理科试卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1．如果A={x|x－1}，那么正确的结论是（）A．0AB．{0}∈AC．{0}AD．∈A2．给定两个向量)2()2(),1,(),2,1(babaxba与若平行，则x的值等于（）A．1B．21C．2D．313．对函数baxxxf23)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是（）A．ttg21log)(B．ttg)21()(C．g(t)=(t－1)2D．g(t)=cost4．数列{an}是等差数列，S100,S110，则使an0的最小的n的值是（）A．5B．6C．7D．85．将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移4个单位后，再作关于x轴的对称变换得到函数y=－cos2x的图象.则f(x)可以是（）A．－2sinxB．2sinxC．－2cosxD．2cosx6．已知),0()21(),2(2122byaaaxb则x,y之间的大小关系是（）A．xyB．xyC．x=yD．不能确定7．已知a、b为两个非零向量，有以下命题：①2a=2b，②a·b=2b，③|a|、=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要但不充分条件的命题是（）A．②B．①③C．②③D．①②③8．已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是（）A．2B．3C．4D．229．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是（）10．抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，O是坐标原点，则OBOA等于（）A．－43B．43C．－3D．311．已知命题p：函数)2(log25.0axxy的值域为R.命题q：函数xay)25(是减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a2C．1a2D．a≤1或a≥212．对某地农村家庭拥有电器情况抽样调查如下：有电视机的占60%；有洗衣机的占55%；有电冰箱的占45%；至少有上述三种电器中的两种及两种以上的占55%；三种都有的占20%.那么没有任何一种电器的家庭占的比例是（）A．5%B．10%C．12%D．15%第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．△ABC中，若)cos(cos,5tantanCBACB则的值为.14．把点A（2，1）按向量a=（－2，3）平移到B，此时点B分向量OC（O为坐标原点）的比为－2，则C点的坐标为.15．当x=3时，不等式)10)(64(log)2(log2aaxxxaa且成立，则此不等式的解集是.16．奇函数f(x)的定义域为),,0()0,(值域为R，当且仅当x1时，f(x)0.关于f(x)有如下命题：①f(－1)=0；②方程f(x)=0有无穷解；③f(x)有最小值，但无最大值；④f(x)的图象关于原点对称，且f(x)是周期函数.其中正确命题的序号是.三、解答题：（本大题6个小题，共74分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.）17．（12分）已知函数.2321)3(,2)0(,cossincos2)(2ffxxbxaxf且（1）求f(x)的最大值与最小值；（2）若)tan(),()(,,求且ffZkk的值.18．（12分）（1）已知|a|=4，|b|=3，（2a－3b）·（2a+b）=61，求a与b的夹角θ；（2）设OA=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），在OC上是否存在点M，使MBMA，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.19．（12分）定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),且当x∈[－1，1]时，f(x)=x3.（1）求f(x)在[1，5]上的表达式；（2）若A={x|f(x)a,x∈R},且A，求实数a的取值范围.20．（12分）某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万元/人）初中602.0281.2高中402.5581.6根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入－年薪支出）21．（12分）椭圆C1：2222byax=1(ab0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2：2222byax=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若△ACD与△PCD的面积相等.（1）求P点的坐标；（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由.22．（14分）已知}{),10(log)(naaaxxf，若数列{an}*)(42),(,),(),(),(,2321Nnnafafafafn使得成等差数列.（1）求{an}的通项an;（2）设),(nnnafab若{bn}的前n项和是Sn，且.312:,11224224anaSaann求证数学答案一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分）CBAB、DADA、CACD二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．32；14.（0,2）；15.Rxxx,42|；16.①②三、解答题：（本大题6个小题，共74分）17．（12分）解：（1）由f(0)=2a=2,得a=1,2,4321)3(bbaf得…………（3分）∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=1)42sin(2x…………（5分）∴f(x)的最大值是12，最小值是21.………………（6分）（2）∵)42sin()42sin(),()(ff.……（7分）∴)42(242)42(242kk或…………（9分）∴Zkkk,4)(或舍去………………（11分）∴1)4tan()tan(k.………………（12分）18．（12分）解：（1）∵（2a－3b）·（2a+b）=61，∴.6134422bbaa…（12分）又|a|=4，|b|=3，∴a·b=－6.…………………………………………（4分）.,21||||cosbaba………………………………………………（5分）∴θ=120°.………………………………………………………………（6分）（2）设存在点M，且)10)(3,6(OCOM).31,63(),35,62(MBMA,0)31)(35()63)(62(…………………………（8分）).511,522()1,2()10(,151131:,01148452OMOM或分或解得∴存在M（2，1）或)511,522(M满足题意.……………………（12分）.19．（12分）解：∵f(x+2)=-f(x),x∈R，∴f(x)=－f(x－2).……………（1分）当x∈[1，3]时，x－2∈[－1,1],∴f(x)=－f(x－2)=－(x－2)3=(2－x)3.……（3分）又f(x)=－f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是以4为周期的函数.………………（4分）当x∈[3，5]时，x－4∈[－1,1],f(x)=f(x－4)=(x－4)3.………………（6分）]5,3[)4(]3,1[)2()(33xxxxxf…………………………………………（7分）（2）当],1,1[,)2()(,]3,1[3yxxfyx时当x∈[3,5]时，y=f(x)=(x－4)3,∴y∈[－1,1],∴f(x)在[1，5]上的值域为[－1,1].…………………………（9分）又f(x)是以4为周期的函数，∴当x∈R时，f(x)∈[－1,1]……（10分）∴当a1时，存在x使f(x)a，故a的取值范围为a1.………（12分）20．（12分）解：设初中x个班，高中y个班，则)2(12005828)1(3020yxyx……………（4分）设年利润为s，则yxyxyxs22.16.15.22.1215.04006.060……（6分）作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.由1200582830yxyx解得A（18，12）.……（10分）6.45122182.1maxs（万元）.即学校可规划初中18个班，高中12个班，可获最大年利润为45.6万元.……（12分）21．（12分）解：（1）设P(x0,y0)(x0a,y00)，又有点A(－a,0),B(a,0).)6().3,2(.3),(2)4(,5)(14)(,)2().2,2(,,00022022022022022022000分舍去分又得点坐标代入椭圆方程将分的中点为baPbyaxaxaxaaxbyaxbyaaxCyaxCAPCSSPCDACD（2）,300abaxyKKPBPD…………………………（7分）)10()23,2(),2,2()(2)9(0321)(3:00222222分即舍去分直线baCyaxCaxaxaaxxbyaxaxabyPDDD∴CD垂直于x轴.若CD过椭圆C1的右焦点，则.27,23,222222abaecabbaa故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为27.…………（12分）22．（14分）解：设2，f(a1),f(a2),f(a3),……，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+2－1)dd=2,…………………………（2分）22log222)11(2)(nannddnafnan.22nnaa……………………（4分）（2）222222)22(log)(nnannnnanaaafab，22264)22(264nnnananaaS)14(.312111)13(111)12(111)11()111(1212,0,112)10(.220,,012,0)1)(12(1210,112)8(],)1(111[121)22(2)1()1(2,1,)22(][24)1()22(2)22(6422222222424222422224242222424242224422264242222862分分分分又分解得故又分aaaaaaaaaanaSaaaaaaaaaaaaanaaaaaanaaaaSaanaaaSaanananaaSannnnnnnnnnnnnnnnnnn