08高考数学奇偶性与单调性复习1

08高考数学奇偶性与单调性测试函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a0,f(x)=xxeaae是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定21121xxxx的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121xxxx)∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴12121xxxx0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0∴x2－x11－x2x1,∴012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)0即f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132aa的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0x1x2,则－x2－x10，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2－2a+1.解之，得0a3.又a2－3a+1=(a－23)2－45.∴函数y=(21)132aa的单调减区间是［23，+∞］结合0a3,得函数y=(23)132aa的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是()A.f(x)=(x－1)xx11B.f(x)=2|2|)1lg(22xxC.f(x)=)0()0(22xxxxxxD.f(x)=xxxxsincos1cossin12.(★★★★★)函数f(x)=111122xxxx的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x1x2),x2,+∞)上单调递增，则b的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+12xx(a1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=223)1(xx在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－21)=0,当x－21时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即xxxaeeaae1+aex.整理，得(a－a1)(ex－xe1)=0.因此，有a－a1=0,即a2=1,又a0,∴a=1(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=)11)((1121122121xxxxxxxxeeeeeee21211211)1(xxxxxxxeeee由x10,x20,x2x1,∴112xxe0,1－e21xx＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x0,e2x－10.此时f′(x)0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)=)0()()0()()0()0(2222xxxxxxxxxxxx=－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a0.又知0＜x1＜x,得x1+x20,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x10,12xxa1且1xa0,∴)1(12112xxxxxaaaa0,又x1+10,x2+10∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是f(x2)－f(x1)=12xxaa[phone]xxxx0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则12000xxax且由0＜0xa＜1得0＜－1200xx＜1,即21＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则1200xx＜－2,0xa＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则1200xx0,0xa0，∴f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx,设1＜x1＜x2＜+∞,则01111,11121222122xxxx.2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxx∴f(x1)f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf.).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxf∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=)2(1axf=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－21－21,由题意f(x2－x1－21)0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－21)－1=f［(x2－x1)－21］0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.