08高考数学参数复习1

例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为34，直线l和抛物线xy22相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)M点的坐标；(3)线段AB的长|AB|解：(1)∵直线l过点P（2，0），斜率为34,设直线的倾斜角为，tg=34cos=53,sin=54∴直线l的标准参数方程为tytx54532（t为参数）*∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程xy22中，整理得8t2－15t－50＝0Δ=152+4×8×500,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得t1＋t2＝815,t1t2＝425，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝221tt＝1615∵中点M所对应的参数为tM=1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M点的坐标为4316155416411615532yx即M（1641，43）(1)|AB|＝∣t2－t1∣＝222114)(tttt＝7385点拨：利用直线l的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例2：已知直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为3，(1)求直线l与直线l：32xy的交点Q与P点的距离|PQ|；(2)求直线l和圆22yx＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.解：(1)∵直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为3,∴直线l的标准参数方程为3sin333cos1tytx，即tytx2333211（t为参数）代入直线l：32xy得032)2333()211(tt整理，解得t=4+23ABMP(2,0)xy0t=4+23即为直线l与直线l的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义可知：|t|=|PQ|,∴|PQ|=4+23.(2)把直线l的标准参数方程为tytx2333211（t为参数）代入圆的方程22yx＝16，得16)2333()211(22tt,整理得：t2－8t+12=0，Δ=82-4×120,设此二次方程的两个根为t1、t2则t1t2=12根据参数t的几何意义，t1、t2分别为直线和圆22yx＝16的两个交点A,B所对应的参数值，则|t1|=|PA|,|t2|=|PB|,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例3：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a，2）方程为(y―2)2=2P(x－a)(P0)①∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a)aP=－8－P代入①得(y―2)2=2Px＋2P+16②将直线方程y=2x+7化为标准的参数方程tg=2,为锐角，cos=51,sin=52得tytx525511（t为参数）③∵直线与抛物线相交于A，B,∴将③代入②并化简得：75212542tPt＝0，由Δ=355)6(42P0,可设方程的两根为t1、t2，又∵|AB|=∣t2－t1∣＝222114)(tttt＝4104354]4)212(5[2P=(410)2化简，得(6－P)2=100∴P=16或P=-4(舍去)所求的抛物线方程为(y―2)2=32x＋48点拨：(1)（对称性）由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例4：已知椭圆134)1(22yx，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点，求|F2A|·|F2B|的最大值.解：由椭圆方程知a＝2，b=3,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为sincostytx（t为参数）代入椭圆方程整理得（3＋sin2）t2－6tcos－9=0，Δ=36cos2＋36（3＋sin2）0此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点对应的参数，由韦达定理t1＋t2=2sin3cos6t1t2＝2sin39根据参数t的几何意义，t1、t2分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点A,B所对应的参数值，|F1A|＝|t1||F1B|＝|t2||AB|=∣t2－t1∣＝222114)(tttt＝2sin312|F1A|·|F1B|＝|t1|·|t2|=|t1t2|由椭圆的第一定义|F1A|＋|F2A|＝2a＝4，|F1B|+|F2B|=2a＝4|F2A|·|F2B|=(4-|F1A|)(4-|F1B|)=16-4|AB|+|F1A|·|F1B|=16-4∣t2－t1∣+|t1t2|=16-42sin312+2sin39=16-2sin339当sin2＝1时，|F2A|·|F2B|有最大值425点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1的直线的参数方程，利用椭圆的定义将|F2A|·|F2B|转化为|F1A|·|F1B|.方法总结：利用直线l的参数方程sincos00tyytxx（t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：F(yx,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C：F(yx,)=0后，可得一个关于t的一元二次方程，)(tf=0,1、(1)当Δ0时，l与C相离；(2)当Δ＝0时，l与C相切；(3)当Δ0时，l与C相交有两个交点；2、当Δ0时，方程)(tf=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标.3、定点M0(00,yx)是弦AB中点t1+t2=04、l被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－t2|；M0A·M0B=t1·t2；弦AB中点M点对应的参数为221tt；|M0M|=221tt