2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第12讲-函数模型及其应用

第12讲函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．常见函数模型一次函数模型y＝ax＋b(a≠0)反比例函数模型ky＝(k≠0)x二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)指数函数模型y＝N(1＋p)x(x＞0，p≠0)(增长率问题)1．常见的几种函数模型常见函数模型对数函数模型y＝blogax(x＞0，a＞0，且a≠1)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)对勾函数模型ay＝x＋(x≠0)x分段函数模型略（续表）y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调________单调递增单调递增增长速度越来越快越来越____相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与____轴接近平行随n值变化而不同2．三种函数模型性质比较递增慢x1．某一种商品降价10%后,欲恢复原价,则应提价(A．10%B．9%C．11%D．1119%2．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．)300DP＝3．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．则：(1)总成本C(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为____________________；C＝200＋0.3x(x∈N*)(2)单位成本P(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为____________________；200x＋0.3(x∈N*)(3)销售收入R(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为____________________；R＝0.5x(x∈N*)(4)利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系L＝0.2x－200(x∈N*)式为____________________.4．已知函数y1＝2x和y2＝x2.当x∈(2,4]时，函数____________的值增长快；y2＝x2当x∈(4，＋∞)时，函数___________的值增长快．y1＝2x考点1正比例、反比例和一次函数类的实际问题例1：(2013年广东佛山一模)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式为已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.S＝3x＋kx－8＋5，0x6，14，x≥6.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意，得L＝2x＋kx－8＋2，0x6，11－x，x≥6.∵当x＝2时，L＝3，∴3＝2×2＋k2－8＋2.解得k＝18.(2)当0x6时，L＝2x＋18x－8＋2，则L＝2(x－8)＋18x－8＋18＝－28－x＋188－x＋18≤－228－x·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x)＝188－x，即x＝5时取得等号．当x≥6时，L＝11－x≤5.∴当x＝5时，L取得最大值，最大值为6.答：当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．【规律方法】对勾函数fx＝x＋axa0是正比例与反比例函数的综合题型，解决这类问题首先考虑基本不等式，当基本不等式中等号不成立时要利用函数的单调性求最值，当然也可以利用导数求最值.【互动探究】1．(2014年广东广州水平测试)做一个体积为32m3、高为)B2m的无盖长方体的纸盒，用纸面积最小为(A．64m2C．32m2B．48m2D．16m2解析：底面积为16，设一底边长为x，则另一底边为16x，则用纸面积S＝22×16x＋2x＋16＝416x＋x＋16≥4×216x·x＋16＝48.故选B.考点2二次函数类的实际应用题例2：(2013年上海)如图2-12-1，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中角B为直角，AB长40m，BC长50m．现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．图2-12-1解：如图D6，设矩形为EBFP，FP长为xm，其中0x40，健身房占地面积为ym2.∵△CFP∽△CBA，∴FPBA＝CFCB，即x40＝50－BF50.求得BF＝50－54x.从而y＝BF·FP＝50－54xx＝－54x2＋50x＝－54(x－20)2＋500≤500.当且仅当x＝20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500m2.图D6【规律方法】二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得．另外在实际的问题中，还要考虑自变量为整数的问题．【互动探究】2．(2013年陕西)在如图2-12-2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.图2-12-2答案：20解析：设矩形的高为h，有40－h40＝x40，h＝40－x，S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，即当边长x为20m时，矩形的面积最大．考点3分段函数类的实际问题例3：某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销售完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图2-12-3，其中图(1)(一条折线)、图(2)(一条抛物线)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图(3)是每件样品的销售利润与上市时间的关系．图2-12-3(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．解：(1)图(1)是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30＜t≤40.图(2)是一个二次函数的部分图象，由顶点式及图象过(0,0)，得g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)．(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝3t，0≤t≤20，60，20＜t≤40.故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)＝3t－320t2＋8t，0≤t≤20，60－320t2＋8t，20t≤30，60－320t2＋240，30t≤40.当0≤t≤20时，F(t)＝3t－320t2＋8t＝－920t3＋24t2，∴F′(t)＝－2720t2＋48t＝t48－2720t≥0.∴F(t)在[0,20]上是增函数．∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6000＜6300.当20＜t≤30时，F(t)＝60－320t2＋8t.由F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0.解得t＝703(舍去)或t＝30.当30＜t≤40时，F(t)＝60－320t2＋240.由F(t)在(30,40)上是减函数，得F(t)＜F(30)＝6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天．【规律方法】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起.要注意各段自变量的范围，特别是端点值.第1问就是根据图1和图2所给的数据，运用待定系数法求出各图象中的解析式；第2问先求得总利润的函数关系式，再将问题转化为方程是否有解.【互动探究】3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(单位：吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，则乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，则5x4，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.∴y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，∴甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝3×1.5＝4.5(吨)，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．当x∈0，45时，y≤f4526.4；当x∈45，43时，y≤f4326.4；当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.