高考调研2-7

高考调研第二部分讲重点•小题专练高考总复习·二轮专题·数学·理第1页第二部分讲重点•小题专练高考调研高考调研第2页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理第7讲导数及其应用高考调研高考调研第3页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理热点调研高考调研高考调研第4页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【典例1】(导数的运算)(1)(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.调研一导数的运算及几何意义高考调研高考调研第5页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.【答案】2高考调研高考调研第6页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.ln22D．ln2高考调研高考调研第7页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1.由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e，故选B.【答案】B高考调研高考调研第8页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【对点练1】(1)(2014·黄冈模拟)在数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)(n∈N*)都在函数g(x)＝32x的图像上，若函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，则f′(0)＝()A．－27B．27C．－47D．47高考调研高考调研第9页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】因为点(an，an＋1)(n∈N*)都在函数g(x)＝32x的图像上，所以有an＋1＝32an，所以数列{an}是以2为首项，32为公比的等比数列，则a4＝2×(32)3＝4.而f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a7)＋x·[(x－a1)·(x－a2)…(x－a7)]′，所以f′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a7)＝－(a1·a7)3·a4＝－a74＝－47，故选C.【答案】C高考调研高考调研第10页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)(2014·南昌联考)已知f(x)＝cos2x，x0，πx，x≥0，则f′[－f(16)]＝________.高考调研高考调研第11页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】∵f(16)＝π6，f′(x)＝－2sin2x，x0，π，x≥0，∴f′[－f(16)]＝f′(－π6)＝－2sin(－π3)＝3.【答案】3高考调研高考调研第12页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【典例2】(求切线方程)(1)(2014·南昌质检Ⅱ)曲线y＝4ex＋1与y轴交点处切线的倾斜角为________．高考调研高考调研第13页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】因为曲线y＝4ex＋1与y轴的交点为(0,2)，y′＝－4exex＋12，所以曲线y＝4ex＋1在点(0,2)处的切线斜率k＝－1，所以所求切线的倾斜角为3π4(或135°)．【答案】3π4(或135°)高考调研高考调研第14页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)(2014·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．高考调研高考调研第15页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为斜截式方程或一般式方程．因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.【答案】5x＋y－3＝0高考调研高考调研第16页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(3)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则曲线f(x)过点A(2，－2)的切线方程为________．高考调研高考调研第17页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)．又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)．整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.【答案】x－y－4＝0，或y＋2＝0高考调研高考调研第18页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【对点练2】(1)(2014·广州调研)已知点P在曲线y＝4ex＋1(其中e为自然对数的底数)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则tanα的取值范围是________．高考调研高考调研第19页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】易知y′＝－4exex＋12，显然y′0，又－4exex＋12＝－4ex＋1ex＋2≥－42ex·1ex＋2＝－1(当且仅当ex＝1ex时取“＝”)，∴tanα的取值范围是[－1,0)．【答案】[－1,0)高考调研高考调研第20页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)(2014·九江六校联考)已知函数f(x)＝f′(0)e－2x－cosx＋3x＋1，则f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．高考调研高考调研第21页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】f′(x)＝－2f′(0)e－2x＋sinx＋3，所以f′(0)＝－2f′(0)＋3，所以f′(0)＝1.而f(0)＝1－cos0＋0＋1＝1，所以所求切线方程为y－1＝1·(x－0)，即x－y＋1＝0.【答案】x－y＋1＝0高考调研高考调研第22页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(3)(2014·黄山七市联考)已知抛物线x2＝2py(y0)的焦点与双曲线2y2－2x2＝1的一个焦点重合，若过该抛物线上一点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12，则点B的纵坐标为________．高考调研高考调研第23页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】易知抛物线方程为x2＝4y，即y＝14x2，y′＝12x，设B(x1，y1)，所以过点B的切线的斜率为k＝12x1，切线方程为y－y1＝12x1(x－x1)．令x＝0得y＝－12x21＋y1；令y＝0得x＝－2y1x1＋x1，因为点B在x2＝4y上，所以y1＝14x21，故y＝－14x21，x＝12x1，高考调研高考调研第24页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝12|x||y|＝12|－14x21|·|12x1|＝116|x31|.因为S＝12，即116|x31|＝12，得|x1|＝2，所以y1＝1，所以点B的纵坐标为1.【答案】1高考调研高考调研第25页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【典例3】(切线的灵活应用)(1)(2014·新课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x.则a＝()A．0B．1C．2D．3高考调研高考调研第26页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.【答案】D高考调研高考调研第27页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)(2014·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：A．直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；B．若曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.高考调研高考调研第28页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)3；③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx；⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx.高考调研高考调研第29页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】先根据导数的几何意义，求出切线的斜率，判断所给直线是否为曲线的切线方程，再结合定义求解．①中由y＝x3，得y′＝3x2.又当x＝0时，切线斜率为0，故函数y＝x3在点(0,0)处的切线方程为y＝0.结合图像知①正确．②中由y＝(x＋1)3，得y′＝3(x＋1)2.又当x＝－1时，切线斜率为0，故函数y＝(x＋1)3在点(－1,0)处的切线方程为y＝0，故②不正确．③中由y＝sinx，得y′＝cosx.又当x＝0时，切线斜率为1，故函数y＝sinx在点(0,0)高考调研高考调研第30页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理处的切线方程为y＝x.结合图像知③正确．④中由y＝tanx，得y′＝1cos2x.又当x＝0时，切线斜率为1，故函数y＝tanx在点(0,0)处的切线方程为y＝x.结合图像知④正确，⑤中由y＝lnx，得y′＝1x.又当x＝1时，切线斜率为1，故函数y＝lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，结合图像可知⑤不正确．【答案】①③④高考调研高考调研第31页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【对点练3】(1)(2014·广东三校四模)已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图像为曲线C，若曲线C存在与直线y＝12x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．高考调研高考调研第32页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】因为f(x)＝ex－mx＋1，故f′(x)＝ex－m.与直线y＝12x垂直的切线的斜率为－2，故可将问题转化为方程ex－m＝－2有解，即方程ex＋2＝m有解，因为ex＋22，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)高考调研高考调研第33页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)(2014·广州两校联考)若点P，Q分别在函数y＝ex和函数y＝lnx的图像上，则P，Q两点间的距离的最小值是________．高考调研高考调研第34页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】∵曲线y＝ex与曲线y＝lnx的图像关于直线y＝x对称，故可先求点P到直线y＝x的最短距离d.设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b，∵y′＝ex，由1＝ex，得x＝0，故切点坐标为(0,1)，即b＝1，d＝11＋1＝22.∴|PQ|的最小值为2d＝2.【答案】2高考调研高考调研第35页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(3)若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．2B．－1C．1D．－2高考调研高考调研第36页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理【解析】∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，且y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，3＝k×1＋1，3＝13＋a×1＋b，k＝3×12＋a，解得a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.【答案】C高考调研高考调研第37页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理1．求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．高考调研高考调研第38页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理2．(1)曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程的求解方法：高考调研高考调研第39页第二部分第7讲高考总复习·二轮专题·数学·理(2)求曲线y＝f(x)过点(x0，y0)的切线方程的求解步骤：第一步：设出切点坐标P′(x1，f