08届高考理科数学模拟测试试题

08届高考理科数学模拟测试试题（2008.3.3）一.选择题（每小题5分，共60分）1．复数zi在映射f下的象是zi，则12i的原象是（）A．13iB.2iC.2iD.22．已知随机变量2(3,2)N，若23，则D（）Ａ.0B.1C.2D.43.已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点；命题q：//，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且1PA，2PBPC，则空间一点O到点P、A、B、C等距离d的值是()A．22B．32C．52D．625.已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标均满足不等式组4325022010xyxyx，则cosPOQ的最小值等于()A．22B．32C．12D．06.已知(,1)ABk，(2,4)AC若k为满足||4AB的一随机整数，则ABC是直角三角形的概率是()A．17B．27C．37D．477.数列{}na满足：112a，215a且1223111nnnaaaaaanaa对于任何的正整数n成立，则1297111aaa的值为（）A．5032B．5044C．5048D．50508.若函数()fx的导数是()(1)fxxx，则函数()(log)agxfx(01)a的的单调递减区间是()A．[1,0]B．1[,),(0,1]aC．1[1,]aD．11(,],[,)aa9.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的坐法种数是()A．234B．346C．350D．36310.若21lim()111xabxx，则常数a、b的值为()A．2,4abB．2,4abC．2,4abD．2,4ab11.曲线214yx与直线24ykxk有两个公共点，则实数k的取值范围是（）A．5(0,)12B．53(,]124C．3[,)4D．3(0,]412．函数222sin()24()2cosxxxfxxx的最大值与最小值依次为M、N，则（）Ａ．2MNＢ．2MNＣ．4MNＤ．4MN二、填空题：(每小题4分，共16分)13.已知P是双曲线22219xya右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30xy，设1F、2F分别为左、右焦点，若2||3PF，则1||PF.14.如图，在ABC中，设ABa，ACb，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用a、b表示AP的式子为.15.已知一个半径为21的球中有一个各棱长都相等的正三棱柱，则这个正三棱柱的体积是.16.曲线:1Cxy上的点到原点的距离的最小值是.CABPQR三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知向量(cos,sin)(0)OA，(sin,cos)OB，其中O为坐标原点.（1）若6，求向量OA与OB的夹角.（2）若||2||BAOB对任意实数、都成立，求实数的取值范围.18．(本小题满分12分)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万全部用来买股票，据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12.第二种方案：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应该将10万全部用来买基金，据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能亏损10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、15、15.第三种方案：：李师傅的妻子认为，投资股市、基金均有风险，应该将10万全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对上述三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.19．(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，椭圆的离心率等于255.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，若1MAAF，2MBBF，求证：12为定值.20．(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABCABC中，90ACB，2BCAC，14AA，D为棱1CC上的一动点，M、N分别为ABD、11ABD的重心.（1）求证：MNBC；（2）若二面角CABD的大小为arctan2，求点1C到平面11ABD的距离.（3）若点C在ABD上的射影正好为M，试判断点1C在11ABD上的射影是否为N，并说明理由．ACBA1B1DMNC121．(本小题满分12分)已知()fx是定义在上的奇函数，当(0,]xe时，()lnfxaxx，(0,)aaR.（1）求()fx的解析式；（2）求实数a，使得当[,0)xe时，()fx的最小值是3.（3）设ln||()||xgxx，[,0)(,]xeoe，求证：当1a时，1|()|()2fxgx．22.(本小题满分14分)已知2()(12)(12)(12)nnfxxxx.（1）设()nfx展开式中x项的系数为na，求na；（2）设()nfx展开式中2x项的系数为nb，求证：112nnnnbba；（3）是否存在常数a、b，使18(21)(2)3nnnbab对一切2n，nN恒成立？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由参考答案一.选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DBBCACBCBCBB二、填空题：(每小题4分，共16分)13、5；14、2477APab15、54316、24三、解答题17、（1）当0时，向量OA与OB的夹角为3当0时，向量OA与OB的夹角为23（2）||2||BAOB对任意、恒成立，即212sin()4对任意、恒成立，所以20214或20214，解得3或3，故所求实数的取值范围是(,3][3,)。18、若按方案一，设收益为万元，则其分布列为114(2)122E(万元)若按方案二，设收益为万元，则其分布列为312(1)155E(万元)若按方案三，收益104%(15%)0.38y(万元)EEy，又22211()1641922DEE22318()411555DEE，可知DD，这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥，所以建议李师傅家选择方案二投资较合理。19、（1）椭圆的方程为2215xy4-2p121220-1p351515（2）设点A、B、M的坐标分别为22110(,),(,),(0,)xyxyy，易知点F的坐标为(2,0)，将A的坐标代入椭圆方程得2211010550y，同理可得2222010550y，则12,是方程22010550xxy的两根，故1210（定值）。20、（1）连结DM、DN并延长，分别AB、A1B1交于点P、Q，连结PQ，1PQBBMN1BBBC，MNBC（2）CPD即为二面角CABD的平面角，1C到平面11ABD的距离为233（3）1C在平面11ABD的射影为N。21、（1）ln(),[,0)ln,(0,]axxxeaxxxe（2）1()axfxx，当1ea即10ae时，由于[,0)xe，则()0fx，故函数()ln()fxaxx在[,0)e上单调递增，所以min()()1fxfeae，由14ae得41aee（舍去）；当1ea即1ae时，函数()ln()fxaxx在1[,)ea上递减，在1(,0)a上递增，所以min11()()1ln()3fxfaa，得2ae综上可知，存在实数2ae，使得当[,0)xe时，()fx的最小值是3.（3）因为|()|fx与()gx都是偶函数，所以只要证明[,0)xe时，1|()|()2fxgx成立即可，证明如下：当[,0)xe且1a时，()ln()fxxx，ln()()xgxx，设ln()1()2xhxx，11()1xfxxx，()fx在[,1)e上递减，在(1,0)上递增min()(1)10fxf，则min|()|1fx又2ln()1()xhxx，当[,0)xe时()0hx，()hx递减max11()()2hxhee，而max11()12hxe故当[,0)xe时，1|()|()2fxgx22、（1）2122222nnna（2）设2()1nnnfxaxbx，则2111()1nnnfxaxbx，又211()(1)(12)nnnnfxaxbxx112nnnnbba（3）假设存在,ab满足题设条件，则228(21)(2)3bab，即2348abb2338(21)(2)3bab，即3388abb由22()168fxxx得226,8ab从而356b代入上式得1,1ab；猜想18(21)(21)3nnnb，以下用数学归纳法证明从略。