第一学期高三数学综合测试卷

第一学期高三数学综合测试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率pn(k)=cnkpk(1－p)n－k正棱锥、锥台的侧面积公式S锥侧=21cl其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式V球=334R其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．函数是y=sin2x是（）A.最小正周期为的奇函数B.最上正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数2.集合PQPaRxayyxQRxkyyxx已知且,1a,0,,1),(,,),(只有一个子集，那么实数k的取值范围是（）A．（－∞,1）B．,1C．（1，+∞）D．（－∞，＋∞）3．如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的平均数（期望）为3，那么2(a1－3)、2(a2－3)、2（a3－3）、2（a4－3）、2(a5－3)、2(a6－3)的平均数（期望）是（）A．0B．3C．6D．124．已知函数f(x)=2x3－mx221（m为常数）图象上A处的切线与直线x－y+3=0的夹角为45°，则A点的横坐标为（）A．0B．1C．0或61D．1或615．已知数列na（n∈N）中，a1=1，an+1=nnaa21则这个数列的第n项an为（）A．2n－1B．2n+1C．121nD．121n6.函数f(x)=ax－1的反函数的图象经过点（4，2），则f－1(2)的值是（）A．－21B．23C．2D．47．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V=（）A．12B．8C．4D．28．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通。今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A．10B．13C．15D．179．已知x1,则x+11x取得最小值时x的值为（）A．4B．2C．3D．3210．若a、b为任意实数，且ab，则有（）A．a2b2B．1abC．lg(a－b)0D．ba)21()21(11.函数f(x)=－xbax为奇函数的充要条件是（）A．b=0B．a=0C．ab=0D．a2+b2=012.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x－1)且x∈[－1,1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为（）A．2B．3C．4D．5第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在答卷纸上。13．已知sin532，则cos2=_____________________。14．函数f(x)=ax(a0且x≠1)在[1，2]中的最大值比最小值大2a，则a的值为__________________________。15．在等差数列na中，满足3a4=7a7，且a10，Sn是数列na的前n项和。若Sn取得最大值，则n=_________________________。16．一般地，家庭用电量y(千瓦)与气温x（℃）有函数关系y=f(x)。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量。试在数集A=的整数倍是2.5,305xxx中确定一个最小值x1和最大值x2，使y=f(x)是[x1,x2]上的增函数，则区间[x1,x2]=_______________________。三、解答题：本大题6分题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚。17．（本小满分12分）已知P:qp,,012:,231122是若Rmmxxqx的必要而不充分条件，求m的取值范围。18．（本小题满分12分）设a0,f(x)=xxeaae是R上的偶函数。（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0，+∞）上是增函数。19．（本小题满分12分）解关于x的不等式)0(11)1(axxa。20．（本小题满分12分）已知,131a若函数f(x)=ax2－2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g(a)=M(a)－N(a).(1)求g(a)的函数表达式；（2）判断函数g(a)在区间1,31上的单调性，并求出g(a)的最小值。21．（本小题满分12分）我国西部某地区去年各季度某农产品的价格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每担售价（单位：元）203.5201.5195.5200.5今年按某农贸公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”(m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值)收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担。政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定征税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。（1）根据题中条件填空，m=_____________________(元/担)；（2）写出税收y(万元)与x的函数关系式；（3）要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。22．（本小题满分14分）已知函数fn(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn(n∈N*)，且y=fn(x)的图象经过点（1，n2）,数列na(n∈N*)为等差数列。（1）求数列na通项公式；（2）当n为奇数时，设gn(x)=)]()([21xfxfnn,是否存在整数m和M，使不等式mgn(21)M恒成立，若存在，求出M－m的最小值；若不存在，说明理由。【参考答案】一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分。1．A2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.B10.D11.D12.C二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分。13．－25714.a=21a23或15.916.[20,27.5]三、解答题：本大题6分题，共74分。17．（本小满分12分）解：设不等式2311x的解集为A，不等式x2－2x+1－m20的解集为B是pq的必要而不充分条件，∴AB（3分）∵A=102xx（4分）当m0时，B=9,10m1-2m1,11mBmxmx得由（7分）（注：正确解得B得1分）当m=0时，B=1，不合题意；（8分）当m0时，B=9,101-2m1,11mmBAmxmx得由(11分)∴m的取值范围为m≥9或m≤－9（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）依题意，对一切x∈R有f(x)=f(－x).即xxxxaeaeeaae1∴（a－a1）(xxee1)=0对一切xR成立。（3分）由此得a01a,即a2=1,又∵a0,∴a=1(5分)（2）设任意x1、x2(0,+),且x1x2,则f(x1)－f(x2)=e212111xxxxeee,=)11)((2112xxxxeee=21211211)1(xxxxxxxeeee(8分)∵0x1x2∴x2－x10,x1+x20∴e,0112xx1－021xxe（10分）又∵0,0211xxxee∴f(x1)－f(x2)0即f(x)在（0,+∞）上是增函数。（12分）19．（本小题满分12分）解：按照解分式不等式的一般步骤求解：先移项、通分，再因式分解。原不等式即011)1(xxa即011)1(xaxa（1分）（1）当a1时，a－10，原不等式可化为01-xa-11a-x,0111即xaax∵a1，∴1011aa∴原不等式解集为a-11ax1或xx（5分）（2）当a=1时，原不等式即012x∴解集为1xx（7分）（3）当0a1时，原不等式可化为0111xaax，即0111xaax，∵,012111aaaa∴111aa∴原不等式解集为aaxx111（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）∵131a∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=]3,1[1a∴f(x)有最小值N（a）=1－a1.（2分）当2,21,31a,31时af(x)有最大值，M(a)=f(1)=a－1;当1,1,21a,21时af(x)有最大值，M(a)=f(3)=9a－5;∴g(a)=).121(169),2131(12aaaaaa(6分)（2）设0)a1-)(1a-(a)a-(a)g(a-)g(a,21312121212121aaa则∴g(a1)g(a2),∴g(a)在[21,31]上是减函数。（8分）设0,)a1-)(9a-(a)g(a-)g(a,12121212121aaa则∴g(a1)g(a2)∴g(a1)在（]1,21上是增函数。（10分）∴当a=21时，g(a)有最小值21。（12分）21．（本小题满分12分）（1）200；（2）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额200·a(1+2x%).依题意，y=200a(1+2x%)·(10－x)%(5分)=)10)(2100(10000200xxa=).10)(2100(501xxa(0x10)(7分)（3）原计划税收为200a×10%=20a(万元).依题意，得%,2.8320)%10)(2100(501axxa（9分）即x2+40x－84≤0，解得－42≤x≤2,又0＜x＜10,∴0x≤2.(12分)22．（本小题满分14分）解：（1）据题意：fn(1)=n2即a0+a1+a2+a3+…+an=n2令n=1则a0+a1=1,a1=1－a0令n=2则a0+a1+a2=22,a2=4－(a0+a1)=4－1=3令n=3则a0+a1+a2+a3=32,a3=9－(a0+a1+a2)=9－4=5na为等差数列∴d=a3－a2=5－3=2a1=3－2=1a0=0an=1+(n－1)·2=2n－1(6分)（2）由（1）fn(x)=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxnn为奇数时，fn(－x)=－a1x1+a2x2+a3x3+…+an－1xn－1+anxn(7分)gn(x)=nnnnnnxaxaxaxaxaxfxf22553311)]()([21gn(21)=1·(21)3+5·(21)5+…+(2n－5)(21)n－2+(2n－1)(21)2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41nnnnng相减得253)21)(12(])21()51()21[(4)21(1)21(43nnnng9分∴gn(21)=,)21(32)21(913419nnnn为奇数（10分）令cn=nn)21(32cn+2－cn=0)4321()21(32nn,n为奇数∴cn+2≤cn,cn随n增大而减小又n)21(913随n增大而减小∴gn(21)为n的增函数，当n=1时，gn(21)=21而419)21(32)21(913419nnn∴21419)21(ng（12分）∴使mgn(21)M恒成立的整数m的最大值为0，M最小值为5M－m的最小值为5（14分）注：用其他的方法，求出m的最大值或M的最小值之一，可得2分