高考数学普通高等学校招生全国统一考试106

高考数学普通高等学校招生全国统一考试106本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上，参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)－P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A,B)－P(A)=P(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。（1）定义集合运算：A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A(0,1),B(2,3),则集合A⊙B的所有元素之和为(A)0(B)6(C)12(D)18(2)设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx＜，则的值为，(A)0(B)1(C)2(D)3（3）函数的反函数的图象大致是＜＜)10(12aay(A)(B)(C)(D)(4)设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(A)（1，－1）(B)（－1，1）(C)（－4，6）(D)（4，－6）（5）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝－f(x)，则f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)2（6）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=3,a=3,b=1，则c=(A)1(B)2(C)3－1(D)3（7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为(A)22(B)2(C)2(D)22（8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A)1∶3(B)1∶3(C)1∶33(D)1∶9（9）设p∶22,xxq＜0∶12xx＜0，则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是(A)－1(B)1(C)－45(D)45（11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)36（12）已知x和y是正整数，且满足约束条件.72,2,10xyxyx则x－2x3y的最小值是(A)24(B)14(C)13(D)11.5普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。（13）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是.（14）设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，20S－7S＝30，则8S＝.（15）已知抛物线xy42，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211yxByx、两点，则y2211y的最小值是（16）如图，在正三棱柱ABC-111CBA中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.（18）（本小题满分12分）已知函数f(x)＝A2sin()(000)2xA＞，＞，＜＜，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.(Ⅰ)求；(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).（19）（本小题满分12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.(20)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；(Ⅲ)设点M在棱PC上，且,PMMC问为何值时，PC⊥平面BMD.（21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.（22）（本小题满分14分）已知数列｛na｝中，11122nnanaa、点（、）在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令是等比数列；求证数列nnnnbaab,31(Ⅱ)求数列的通项；na(Ⅲ)设分别为数列、nnTS、nanb的前n项和,是否存在实数，使得数列nnSTn为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。答案普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、选择题1、D2、C3、A4、D5、B6、B7、C8、C9、A10、D11、A12、B二、填空题13、15014、5415、3216、217三、解答题17．解：由已知得'()6(1)fxxxa，令'()0fx，解得120,1xxa.（Ⅰ）当1a时，'2()6fxx，()fx在(,)上单调递增当1a时，'()61fxxxa，'(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,1)a1a(1,)a'()fx+00()fx极大值极小值从上表可知，函数()fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a时，函数()fx没有极值.当1a时，函数()fx在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a.18．解：（I）2sin()cos(22).22AAyAxx()yfx的最大值为2，0A.2,2.22AAA又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，12()2,.22422()cos(2)1cos(2)2222fxxx.()yfx过(1,2)点，cos(2)1.2x22,,2xkkZ22,,2kkZ,,4kkZ又∵0,24.（II）解法一：4，1cos()1sin.222yxx(1)(2)(3)(4)21014ffff.又()yfx的周期为4，20084502，(1)(2)(2008)45022008.fff解法二：2()2sin()4fxx223(1)(3)2sin()2sin()2,44ff22(2)(4)2sin()2sin()2,2ff(1)(2)(3)(4)4.ffff又()yfx的周期为4，20084502，(1)(2)(2008)45022008.fff19．解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意12212626389()14CCCCPAC（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则2126383()28CCPBC（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为121436383()7CCCPDC所以34()1()177PCPD.20．解法一：PO平面ABCD，POBD又,2,2PBPDBOPO，由平面几何知识得：1,3,6ODPDPB（Ⅰ）过D做//DEBC交于AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，1,2,OCODOBOAOAOB5,22,2BCABCD又//ABDC四边形EBCD是平行四边形。5,2EDBCBECDE是AB的中点，且2AE又6PAPB，PEA为直角三角形，22622PEPAAE在PED中，由余弦定理得222354215cos215235PDDEPEPDEPDDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为21515（Ⅱ）连结OE，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO为二面角PABC的平面角2sin2POPEOPE，045PEO二面角PABC的大小为045（Ⅲ）连结,,MDMBMO，PC平面,BMDOM平面BMD，PCOM又在RtPOC中，3,1,2PCPDOCPO，233,33PMMC，2PMMC故2时，PC平面BMD解法二：PO平面ABCDPOBD又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（Ⅰ）(0,1,2)PD，(1,2,0)BC，3,5,2PDBCPDBC。cos,PDBCPDBCPDBC21515。故直线PD与BC所成的角的余弦值为21515（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz，由于(2,2,0)AB，(2,0,2)AP，由00nABnAP得2xyzx取(1,1,2)n，又已知平面ABCD的一个法向量(0,0,1)m，2cos,2mnmnmn又二面角PABC为锐角，所求二面角PABC的大小为45（Ⅲ）设00(,0,)Mxy，由于,,PMC三点共线，0022zx，PC平面BMD，OMPC00(1,0,2)(,0,)0xz0020xz由（1）（2）知：023x，023z。22(,0,)33M2PMMC故2时，PC平面BMD。21．解：设椭圆方程为22221()xyabcab（Ⅰ）由已知得222224bcacabc222211abc∴所求椭圆方程为2212xy.（Ⅱ）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为11222,(,),(,)ykxAxyBxy由22212ykxxy，消去y得关于x的方程：22(12)860kxkx由直线l与椭圆相交于A、B两点，2206424(12)0kk解得232k又由韦达定理得122122812612kxxkxxk222121212||1||1()4ABkxxkxxxx2221162412kkk原点O到直线l的距离221dk2222116242223||21212AOBkkSABdkk.解法1：对22162412kSk两边平方整理