高考数学普通高等学校招生全国统一考试128

高考数学普通高等学校招生全国统一考试128一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U，{2,4,5,7}A，{3,4,5}B，则()()ABUU痧（A）{1,6}（B）{4,5}（C）{2,3,4,5,7}（D）{1,2,3,6,7}（2）在等差数列na中，若0na且3764aa，5a的值为（A）2（B）4（C）6（D）8（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为（A）22(2)(1)3xy（B）22(2)(1)3xy（C）22(2)(1)9xy（D）22(2)(1)3xy（4）若P是平面外一点，则下列命题正确的是（A）过P只能作一条直线与平面相交（B）过P可作无数条直线与平面垂直（C）过P只能作一条直线与平面平行（D）过P可作无数条直线与平面平行（5）523x的展开式中2x的系数为（A）－2160（B）－1080（C）1080（D）2160（6）设函数()yfx的反函数为1()yfx，且(21)yfx的图像过点1(,1)2，则1()yfx的图像必过（A）1(,1)2（B）1(1,)2（C）(1,0)（D）(0,1)（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A）2（B）3（C）5（D）13（8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)ABCk，其中k为常数。若ABAC，则AB与AC的夹角为（A）24arccos()25（B）2或24arccos25（C）24arccos25（D）2或24arccos25（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040（10）若,(0,)2，3cos()22,1sin()22，则cos()的值等于（A）32（B）12（C）12（D）32（11）设11229(,),(4,),(,)5AxyBCxy是右焦点为F的椭圆221259xy上三个不同的点，则“,,AFBFCF成等差数列”是“128xx”的（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既非充分也非必要（12）若,,0abc且222412aabacbc，则abc的最小值是（A）23（B）3（C）2（D）3二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。（13）已知25sin5，2，则tan。（14）在数列{}na中，若11a，12(1)nnaan，则该数列的通项na。（15）设0,1aa，函数2()log(23)afxxx有最小值，则不等式log(1)0ax的解集为。（16）已知变量x，y满足约束条件23033010xyxyy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为。三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、12。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；（18）（本小题满分13分）设函数2()3cossincosfxxxxa（其中0,aR）。且()fx的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果()fx在区间5[,]36上的最小值为3，求a的值；（19）（本小题满分12分）设函数32()33fxxaxbx的图像与直线1210xy相切于点(1,11)。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性。（20）（本小题满分12分）如图，在增四棱柱1111ABCDABCD中，11,31ABBB，E为1BB上使11BE的点。平面1AEC交1DD于F，交11AD的延长线于G，求：（Ⅰ）异面直线AD与1CG所成角的大小；（Ⅱ）二面角11ACGA的正切值；（21）（本小题满分12分）已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；（22）（本小题满分12分）如图，对每个正整数n，(,)nnnAxy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA角抛物线于另一点(,)nnnBst。（Ⅰ）试证：4(1)nnxsn；（Ⅱ）取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点。试证：112221nnnFCFCFC；普通高等学校招生全国统一考试参考答案一．选择题：DDCDBCCDBBAA二．填空题：（13）-2（14）21n（15）(2,)（16）12a三．解答题：满分74分（17）解：（Ⅰ）由互斥时间有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，所求概率为3331111()()()6326p（Ⅱ）这是3n，16p的独立重复实验，故所求概率为2233155(2)()()6672pC（18）解：（Ⅰ）313()cos2sin2222fxxwxa3sin(2)32xa依题意得2632，解得12（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()sin()32fxxa又当5,36x时，70,36x，故11sin()123x，从而()fx在5[,]36上取得最小值1322a.因此，由题设知13322a.故312a.（19）解：（Ⅰ）求导得2'()363fxxaxb.由于()fx的图象与直线1210xy相切与点(1,11)，所以(1)11f，'(1)12f，即13311,36312.abab解得1a，3b.（Ⅱ）由1a，3b得22'()3633(23)3(1)(3)fxxaxbxxxx.令'()0fx，解得1x或3x；又令'()0fx，解得13x.所以当(,1)x时，()fx是增函数；当(3,)x时，()fx也是增函数；但(1,3)x时，()fx是减函数.（20）解法一：（Ⅰ）由1//ADDG知11CGD为异面直线AD与1CG所成的角.连接1CF.因为AE和1CF分别是平行平面11ABBA和11CCDD与平面1AECG的交线，所以1//AECF，由此可得13DFBE.再由1FDGFDA得13DG.在11RtCDG中，由111CD，13DG得116CGD。（Ⅱ）作11DHCG于H，连接FH。由三垂线定理知1FHCG，故1DHF为二面角11FCGD即二面角11ACGA的平面角。在1RtGHD中，由13DG，16DGH得132DH。从而1113tan232DFDHFDH.解法二：（Ⅰ）由1//ADDG知11CGD为异面直线AD与1CG所成的角。因为1EC和AF是平行平面11BBCC与11AADD与平面1AECG的交线，所以1//ECAF.由此可得1114AGAECB,从而1131AGAA，于是13DG。在11RtCDG中，由111CD，13DG得116CGD。（Ⅱ）在11ACG中，由114CAG，116AGC知11ACG为钝角。作11AHGC交1GC的延长线于H，连接AH。由三垂线定理知GHAH，故1AHA为二面角11ACGA的平面角。在1RtAHG中，由131AG，16AGH得1312AH。从而11131tan2312AAAHAAH。解法三：（Ⅰ）以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.于是，1(0,0,31),(1,1,0),(0,1,31),(1,0,1),(0,1,0),(0,1,1)ACDEADEC因为EC1和AF分别是平行平面BB1C1C和AA1D1D与平面AEC1G的交线，所以EC1//AF.设G（0,y,0），则(0,,(31))AGy.由1//ECAG得11(31)y，于是31y。故1(0,31,0),(1,3,0)GCG.设异面直线AD与C1G所成的角的大小为，则113cos2ADCGADCG,从而6。（II）作11AHCG于H，由三垂线定理知AHGH,故1AHA为二面角11ACGA的平面角。设(,,0)Hab，则1(,,0)AHab，1(1,1,0)CHab。由11AHCG得110AHCG，由此得30ab。①又由H,C1,G共线得11//,CHCG，从而1113ab，于是3(31)0ab②联立1和2得33313331,.(,)4444abH故。由221333131()()442AH,131AA得11131tan2312AAAHAAH（21）解：（Ⅰ）因为()fx是奇函数，所以(0)0f，即102ba，解得1b。从而有121()2xxfxa，又由(1)(1)ff知1121241aa，解得2a。（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知12111()22221xxxfx由上式易知()fx在(,)上为减函数。又因()fx是奇函数，从而不等式22(2)(2)0fttftk等价于222(2)(2)(2)fttftkftk因()fx是减函数，由上式推得2222tttk即对一切tR有2320ttk从而判断别式4120k，解得13k解法二：由（Ⅰ）知121()22xxfx,又由题设条件得2222222121212102222tttktttk即2222212212(22)(21)(22)(21)0tktttttk整理得23221ttk,因底数21,故2320ttk上式对一切tR均成立,从而判别式4120k,解得13k(22)证明：(Ⅰ)对任意固定的1n,因为焦点(0,1)F,所以可设直线nnAB的方程为1nykx,将它与抛物线方程24xy联立得2440nxkx,由一元二次方程根与系数的关系得4nnxs（Ⅱ）对任意固定的1n，利用导数知识易得抛物线24xy在nA处的切线的斜率2nnAxk，故24xy在nA处的切线方程为()2nnnxyyxx，①类似地，可求得24xy在nB处的切线方程为()2nnnSytxS，②由②减去①得2222nnnnnnxsxsytx，从而22224422nnnnnnxsxsxsx，2224nnnnxsxsx，2nnxsx，③将③代入①并注意4nnxs得交点nC的坐标为(,1)2nnxS.由两点间的距离公式得2222||()42244nnnnnxsxsFC=222422()2nnnnxxxxx.从而||2||2||nnnxFCx.现在2nnx，利用上述已证结论并由等比数列求