高考数学直线与圆的位置关系透析

高考数学二轮复习直线与圆的位置关系考点透析【考点聚焦】考点1：直线的倾角与斜率的概念；考点2：直线平行与垂直的条件；考点3：直线与圆的位置关系（特征三角形）。.【考点小测】1．（湖南卷）若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.[,124]B.[5,1212]C.[,]63D.[0,]2解析：圆0104422yxyx整理为222(2)(2)(32)xy，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴22|22|2abab≤，∴2()4()1aabb≤0，∴23()23ab≤≤，()akb，∴2323≤k≤，直线l的倾斜角的取值范围是]12512[，，选B.2．（江苏卷）圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是（A）x－y＝0（B）x＋y＝0（C）x＝0（D）y＝0【正确解答】直线ax+by=022(1)(3)1xy与相切，则|3|12ab，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.3．（全国卷I）从圆222210xxyy外一点3,2P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A．12B．35C．32D．0解析：圆222210xxyy的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan1314，该角的余弦值等于35，选B.5．(重庆卷)过坐标原点且与x2+y2+4x+2y+25=0相切的直线的方程为（A）y=-3x或y=31x(B)y=-3x或y=-31x（C）y=3x或y=-31x(B)y=3x或y=31x解析：过坐标原点的直线为ykx，与圆2254202xyxy相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径102，则2|21|1021kk，解得1或33kk，∴切线方程为xyxy313或，选A.6．（辽宁卷）若直线02cyx按向量)1,1(a平移后与圆522yx相切，则c的值为（A）A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－87（北京卷）从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B)（A）π（B）2π（C）4π（D）6π8（湖南卷）设直线0132yx和圆03222xyx相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是0323yx.9.如果实数满足22(2)3xy,求yx的最大值、2x-y的最小值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解:（1）问题可转化为求圆22(2)3xy上一点到原点连线的斜率ykx的最大值,由图形性质可知,由原点向圆22(2)3xy作切线,其中切线斜率的最大值即为yx的最大值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,由22031kk,解得3k或3kmax3yx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）x,y满足22(2)3xy,21-3-2-1-2-11oyx23cos3sinxy2423cos3sin415sinxymin2415xy新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【典型考例】【问题1】直线的方程与平行、垂直条件P91例1例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2,3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。例3.自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470xyxy相切,求光线l所在的直线方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解:由已知可得圆C：22221xy关于x轴对称的圆C‘的方程为22221xy，其圆心C‘（2，-2），则l与圆C’相切，设l:y-3=k(x+3),25511kk，整理得12k2+25k+12=0,解得34k或43k，所以所求直线方程为y-3=34(x+3)或y-3=43(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【问题2】圆的方程例4.P92例2例5.（07年湖南文理科试题）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。（I）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:()QPQAQB（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42得.0442mkxx①设A、B两点的坐标分别是),(11yx、122),,(xyx则、x2是方程①的两根.所以.421mxx由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得.,012121xxxx即AC'C321-3-2-1321oyx又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而)2,0(mQP.).)1(,(),(),(21212211myyxxmyxmyxQBQA])1([2)(21myymQBQAQP221212122212144)(2])1(44[2xmxxxxmmxxxxxxm.0444)(2221xmmxxm所以).(QBQAQP（Ⅱ）由,4,01222yxyx得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.由yx2得,21,412xyxy所以抛物线yx42在点A处切线的斜率为36xy设圆C的方程是,)()(222rbyax则.)4()4()9()6(,3192222bababab解之得.2125)4()4(,223,23222barba所以圆C的方程是,2125)223()23(22yx即.07223322yxyx例6.一个圆和已知圆2220xyx外切,并与直线l:30xy相切于点M（3,3）,求该圆的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知圆方程化为:22(1)1xy,其圆心P（1,0）,半径为1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设所求圆的圆心为C（a,b）,则半径为2233ab,因为两圆外切,1PC2233ab,从而221ab1+2233ab(1)又所求圆与直线l：30xy相切于M(3,3),直线,1CMlCMlkk,于是13133ba,即343ba（2）将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0,a=0或a=4当a=0时,43b,所求圆方程为224336xy当a=4时,b=0,所求圆方程为22(4)4xy新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆O(A)BCDXY【问题3】直线与圆的位置关系例7.P96T8例8.P96T9【问题3】综合与提高例9:例3.2.(广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．例10.23.如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线，M为上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。【课后训练】1．（安徽卷）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是A．(0,21)B．(21,21)C．(21,21)D．(0,21)解：由圆2220(0)xyaya的圆心(0,)a到直线1xy大于a，且0a，选A。2．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.±2B.±2B.±22D.±4解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为yxa，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴||22a，∴a的值±2，选B．3．（江西卷）“a=b”是“直线222()()2yxxayb与圆相切”的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4(重庆卷)圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为(A)(A)(x2)2y25；(B)x2(y2)25；(C)(x2)2(y2)25；(D)x2(y2)25。5.(全国卷I)已知直线l过点），（02，当直线l与圆xyx222有两个交点时，其斜率k的取值范围是（B）（A）），（2222（B）），（22（C）），（4242（D）），（81816．（湖北卷）已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为。解：圆的方程可化为22(1)1xy，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得PMN|5|1|5|1313aa，所以a的值为－18或8。7．（湖北卷）若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围是.解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y