高三理科数学统一测试试题

高三理科数学统一测试试题数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。1．设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，9，|a－5|}，={5，7}，则a的值为（）A．2B．8C．－2或8D．2或82．若复数2121·1,3zziziz，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．把函数)24sin(xy的图象向右平移8个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（）A．B．2C．4D．24．光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上，被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为（）A．121xyB．2121xyC．2121xyD．121xy5．从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种6．对于不重合的两条直线m，n和平面，下列命题中的真命题是（）A．如果nm,，m，n是异面直线，那么//nB．如果//,nm，m，n是共面，那么nm//C．如果nm,，m，n是异面直线，那么与n相交D．如果//,//nm，m，n共面，那么nm//7．已知数列}{na的前n项和Sn满足131nnaS，那么)(lim242nnaaa的值为（）A．21B．32C．1D．－21,3,58．已知函数))((Rxxf的图象如图所示，则函数)11()(xxfxg的单调递减区间是（）A．),1(],0,(B．),3[],0,(C．),1(),1,(D．)1,1[第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．若8)2(ax的展开式中含6x项的系数是448，则正实数a的值为。10．圆(sin1cos1yx为参数）的标准方程是，过这个圆外一点P（2，3）的该圆的切线方程是。11．在△ABC中，角A满足条件3221cossin3BCABAA，，，则角A=，△ABC的面积为。12．若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的半径为，体积为。13．实数x，y满足不等式组xyWyxyx1,0,0,1则的取值范围是。14．已知P是双曲线)0,0(12222babyax的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为222baab；②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为2；③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；④若直线PF1的斜率为k，则.122ke1,3,5其中正确命题的序号是。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题满分12分）已知A、B两点的坐标分别为].0,2[)23sin,23(cos),2sin,2(cosxxxBxxA，其中（Ⅰ）求|AB|的表达式；（Ⅱ）若31OBOA（O为坐标原点），求xtan的值；（Ⅲ）若)(||4)(2RABABxf，求函数)(xf的最小值。16．（本小题满分13分）有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2。现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片。（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；（Ⅲ）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，求ξ的概率分布及数学期望Eξ。17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点。（Ⅰ）证明：PD⊥AC；（Ⅱ）求二面角A—PB—D的大小；（Ⅲ）若DM:MP=k，则当k为何值时直线PD⊥平面ACM？1,3,518．（本小题满分13分）已知函数.ln)(2xaxxf（Ⅰ）当a=－2时，求函数)(xf的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数),1[2)()(在xxfxg上是增函数，求实数a的取值范围。19．（本小题满分14分）已知点))(,(*NnbaPnnn都在直线l：22xy上，P1为直线l与x轴的交点，数列}{na成等差数列，公差为1。（Ⅰ）求数列}{na，}{nb的通项公式；（Ⅱ）若为偶数，，为奇数，，nbnanfnn)(问是否存在*Nk，使得5)(2)5(kfkf成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。（Ⅲ）求证：52||1||1||121231221npppppp).,2(Nnn20．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为.21y直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足OBOAOP2121（O为坐标原点）。（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为，满足MAMB，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围。1,3,5参考答案一、选择题：每小题5分，满分40分。1.D2.D3.A4.B5.C6.B7.C8.B二、填空题：每小题5分，满分30分。（对有两空的小题，第一空3分，第二空2分，第10题每个切线方程各1分）9．210．;1)1()1(22yx20643xyx或11．3;3212．3；3613．)1,1[14．①③④三、解答题：本大题满分80分。15．（本小题满分12分）解：（I）22)2sin23sin()2cos23(cosxxxxAB……………………1分x2cos22……………………………………………………2分=x2sin4=])0,2[(sin2xx…………………………………………3分（Ⅱ）312cosxOBOA………………………………………………4分3222cos1cos,3122cos1sin22xxxx又.36cos,33sin],0,2[xxx………………………………6分22tanx………………………………………………………………7分（Ⅲ）xxABABxfsin8sin4||4)(22=224)(sin4x…………………………………………8分1,3,5]0,1[sin],0,2[xx……………………………………………9分当01时，)(xf的最小值为－42，此时xsin………………10分当1时，)(xf的最小值为4+8，此时1sinx…………………11分当0时，)(xf的最小值为0，此时.0sinx……………………12分16．（本小题满分13分）解：（I）记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A.…………………………1分211)(27162411CCCCAP…………………………………………………………2分（Ⅱ）记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B。634)(27161211132212CCCCCCCBP……………………………………5分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，2，4，8…………6分42372161511)0(27162315CCCCP………………8分632)2(2716111212CCCCCP；…………9分421)8(27162213CCCCP；…………………………10分ξ的概率分布列为：ξ0248P4237632634421633242186344632242370E…………13分17．（本小题满分14分）解：（I）∵PO⊥平面ABCD∴DO为DP在平面ABCD内的射影……………………1分………11分又AC⊥BD∴AC⊥PD………………………………………………3分（Ⅱ）方法1：过O作ON⊥PB于N，连结AN。∵PO⊥平面ABCD，又AO平面ABCD，∴PO⊥AO……………………………………4分由已知AO⊥BD，BD∩PO=O∴AO⊥平面PBD。…………………………5分∴ON为AN在平面PBD内的射影，∴PB⊥AN.∴∠ANO为二面角A—PB—D的平面角。……6分在Rt△AOD中，AO=1。∵PO⊥平面ABCD，∴OA为PA在底面ABCD内的射影∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，∴∠PAO=60°…………67分∴Rt△POA中，PO=3∵四边形ABCD为等腰梯形∴△ABD≌△BAC∴∠ABD=∠BAC∴OA=OB=1…………………………8分在Rt△POB中，PB=2∴.23213PBOBPOON在Rt△AON中，.332231tanONAOANO………………9分∴二面角A—PB—D的大小为.332arctan…………10分方法2：如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.……………………4分A（0，－1，0），B（1，0，0）P（0，0，)3O（0，0，0）……………………5分)3,0,0(),0,1,1(),3,0,1(OPABBP……6分∵PO⊥平面ABCD又AO平面ABCD，∴PO⊥AO由已知AO⊥BD，BD∩PO=O∴AO⊥平面PBD。∴OA为平面PBD的法向量。∴)0,1,0(OA…………7分设),,(zyxn为平面PAB的法向量。则03000zxyxBPnABn……8分)33,1,1(133nxxzxy，则令……9分721371||||,cosnOAnOAnOA∴二面角A—PB—D的大小为721arccos………………………………10分（Ⅲ）当DM：MP=1时，直线PD⊥平面ACM…………11分∵PO⊥平面ABCD，∴OA为PA在底面ABCD内的射影。∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，∠PAO=60°又∵在Rt△AOD中，∠DAO=60°∴Rt△AOD≌Rt△AOP。∴AD=AP。∵PM=MD，∴PD⊥AM………………13分由（Ⅰ）可知PD⊥AC∵AM∩AC=A∴直线PD⊥平面ACM…………………………14分18．（本小题满分13分）解：（I）函数)(xf的定义域为),0(………………………………………1分当2a时，xxxxxxf)1)(1(222)(………………3分当x变化时，)(),('xfxf的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）)(xf－0+)(xf↘极小值↗………………………………………5分由上表可知，函数)(xf的单调递减区间是（0，1）；单调递增区间是（1，+∞）。极小值是1)1(f………………………………6分（Ⅱ）由2222)(2ln)(xxaxxgxxaxxg，得………………7分又函数),1[2ln)(2为xxaxxg上单调增函数，则),1[0)(在xg上恒成立，……………………8分即不等式),1[0222在xaxx上恒成立也即),1[222在xxa上恒成立………………10分又),1[22)(2在xxx为减函数，………………12分所以.0)1()(maxx所以.0