高三数学02-03上学期直线和平面练习

第七章直线和平面(一)选择题1.有下列四个命题：(1)n条直线中，若任意两条都共面，则这n条直线都共面(2)分别与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线(3)空间中有三个角是直角的四边形是矩形(4)两条异面直线在同一平面内的射影不可能是平行线其中，真命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.下列命题中，真命题是()A.若直线m、n都平行于平面α则m∥nB.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l,则m⊥βC.若m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n,则n在α内或n与α平行D.若直线m、n是异面直线，若m与平面α平行，则n与α平行，则n与α相交3.已知直线a、b和平面α，下列命题正确的是()(1)abaaba∥(2)baabaa∥(3)abbaaa∥(4)aabaab∥A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)D.(2)(3)(4)4.设α、β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条()A.lα，mα且l∥β，m∥βB.lα，mβ且l∥mC.l⊥α，m⊥β，且l∥mD.l∥α，m∥β且l∥m5.四棱柱成平行六面体的充分但不必要条件是()A.底面是矩形B.侧面是平行四边形C.一个侧面是矩形D.两个相邻侧面是矩形6.二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ，如果∠ACF=30°，∠ACB=60°，∠BCF=θ，那么cosθ的值等于，则()A.332B.36C.22D.337.如图，有共同底边的等边△ABC和等边三角形BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为()A.31B.41C.43D.228.正方体ABCD—A1B1C1D1中截面AB1C和截面A1B1C所成的二面角的大小()A.45°B.60°C.arccos26D.arccos369.如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面CE，侧图中相互垂直的平面有()A.3组B.6组C.7组D.8组10.正方形ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC1与平面ABCD所成二面角的正弦值是()A.36B.33C.23D.22(二)填空题11.两条异面直线所成的角为θ，则cosθ的取值范围是.12.棱长为1的正方体，PA、PB、PC是共一个顶点P的三条棱，那么点P到平面ABC的距离是.13.从三棱锥六条棱的中点中，任选四个作为四边形的顶点.其中为平行四边形的个数有个.14.正方体ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角为.15.正四棱锥S-ABCD的高为2，底面边长为2，P、Q两点分别在线段BD和SC上，则P、Q两点的最短距离为.(三)解答题16.已知平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β，求证a∥α.17.如图，正方形ABCD，E、F分别在AB、CD的中点，G为BF的中点，现将正方形沿EF折成120°的二面角.求①异面直线EF和AG所成的角；②AG和平面EBCF所形成的角.18.圆柱底面半径是3，高是4，A与B分别是两底的圆周上的点，且AB＝5，求异面直线AB与OO1间的距离。19.如图，已知二面角α-PQ-β为60°，点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC①求证AB⊥PQ；②求直线PQ在面ABC所成角的大小.20.如图，设ABCD是矩形，沿对角线DB将ABDC折起，使点C在底面DAB上的射影E恰好落在AB边上(1)求证：平面ABC⊥平面ACD。(2)若AB＝2，BC＝3，求二面角C-AD-B的大小及三棱锥C-ABD的体积。参考答案：(一)1.B2.B3.A4.C5.A6.D7.B8.D9.C10.A提示：6.作AO⊥EF，垂足是O，作OB⊥BC，垂足是B，连AB，易知AO⊥β，AB⊥BC，设AC=a，可得CO=23a，CB=2a，cosθ=33COBC.7.作AO⊥BC，连OD，作BE∥DC，DE∥BC交BE于E，连AE.易知∠ABE(或补角)即异面直线AB、CD据所成的角，且AB⊥DE，设正三角形边长为a，可得AB=a，BE=a，AE=25a，由余弦定理得cos∠ABE=-41，异面直线所成角的余弦值是41.8.设二面角为θ，易知tgθ=2222aa(a是正方体棱长).9.找平面的垂线，即可找出相互垂直的平面，七组是平面ABC和平面ABE，平面ABC和平面BD；平面ABE和平面BD；平面ABD和平面BD；平面ABD和平面ACE；平面ABC和平面ACD；平面ADF和平面ABE.(二)11.［0，1］12.3313.314.arccos4215.552(三)16.设α∩β=DE，在平面α内作CB⊥DE，则CB⊥β.∵α⊥β，∴a∥CB，又∵aα，∴a∥α，17.①作GM∥EF，则∠AGM是异面直线EF和AG所成的角，可知∠AEM是二面角A-EF-B的平面角，∠AEM=120°，又可证AM⊥MG，设正方形边长为4a，得GM=2a，AM=7120cos222EMAEEMAEa，∴tg∠AGM=27MGAM，异面直线AG和EF成角为arctg27.②作AO⊥平面BF，O在BE延长线上，连GO，则∠AGO是AG与平面BF所成的角；AO=3a，OG=22a，tg∠AGO=46AGAO，AG与平面EBCF所成角为arctg46.18.解如图，作母线BC，连结OA、OB、OC、AC，则有：VO-ABC＝VB-AOCOO1∥BC且BC在ABC，OO1面ABCOO1∥面ABC设O到平面ABC的距离为d，则所求为dBC⊥⊙O所在平面，AC⊙O所在平面BC⊥AC，而BC＝4，AB＝5故AC＝3△AOC是边长为3的正三角形31(21AC·BC)·d＝31(21·AC2·sin60°)·BC解之d=23319.①过B作BD⊥PQ于D连AD，由已知有△BCD≌△ACD，∴AD⊥PQ，∴PQ⊥平面ADB，则PQ⊥AB.②取AB中点H，连DH、CH，设BC=AC=a，则BD=AD=2a，CD=23a，由①知∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，为60°，且PQ⊥HD，因此△ABD是正三角形，HD=43a.在Rt△CHD中，tg∠DCH=21CDHD，∠DCH=arctg21，又由∠PCA=∠PCB，知PQ在平面ABC的射影在∠ACB的平分线上，而AC=BC，AH=BH，则CH是∠ACB的平分线，PQ在平面ABC的射影即CH，从而PQ与平面ABC所成的角为arctg21.20.(1)证明因CE⊥面ABDAD面ABDCE⊥ADAB⊥AD，CE∩AB=EAD⊥面ABC，面BC面ABCAD⊥BCDC⊥BC、AD∩DC=DBC⊥面ACDBC面ABC面ABC⊥面ACD(2)解因AB⊥DA，CE⊥面ABD，AC在平面ABD上的射影为AE由三垂线定理，AC⊥DA∠CAE是二面角C-AD-B的平面角。又BC⊥面ACDBC⊥AC，sin∠CAB=23ABBC∠CAB＝60°C-AD-B是60°的二面角∠CBE＝30°，CE＝23VC-ABD＝31·CE·(21AD·AB)＝31×23×21×3×2＝21