2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第13讲-导数的意义及运算

第13讲导数的意义及运算1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．4．能利用给出的8个基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．1．函数导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是0limx→ΔyΔx＝0limx→fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0,即f′(x0)＝0limx→ΔyΔx＝0limx→fx0＋Δx－fx0Δx.2．导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为v＝s′(t0)．②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝v′(t0)．原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________(α∈Q*)f(x)＝sinxf′(x)＝cosxF(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a0)f′(x)＝axlna(a0)f(x)＝exf′(x)＝__________f(x)＝logax(a0，且a≠1)1f′(x)＝(a0，且a≠1)xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝__________3．基本初等函数的导数公式表0αxα－1－sinxex1x4.运算法则[u(x)±v(x)]′＝u′(x)____v′(x)；[u(x)·v(x)]′＝____________________；uxvx′＝u′xvx－uxv′x[vx]2[v(x)≠0].±u′(x)v(x)＋u(x)v′(x))C1．已知函数f(x)＝4π2x2，则f′(x)＝(A．4πxC．8π2x2．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝()D．16πxB．8πxA．1B.2C．－1D．0A3．若f(x)在x0处可导，则f′(x0)＝()A.0limx→fx0－fx0－ΔxΔxB.0limx→fx0＋Δx－fx0－ΔxΔxC.0limx→fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔxD.0limx→fx0＋2Δx－fx0－ΔxΔxA4．(2014年广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为_________________.5x＋y＋2＝0解析：y′x＝0＝－5exx＝0＝－5，即斜率为k＝－5，所以切线的方程为y＝－5x－2，即5x＋y＋2＝0.5．(2015年广东广州)已知e为自然对数的底数，则曲线y＝2ex在点(1,2e)处的切线斜率为_______.2e考点1导数的概念例1：设f(x)在x0处可导,下列式子中与f′(x0)相等的是()①0limx→fx0－fx0－2Δx2Δx；②0limx→fx0＋Δx－fx0－ΔxΔx；③0limx→fx0＋2Δx－fx0＋ΔxΔx；C．②③D．①②③④A．①②B．①③④0limx→fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔx.解析：①0limx→fx0－fx0－2Δx2Δx＝20limx→fx0－2Δx＋2Δx－fx0－2Δx2Δx＝f′(x0)；②0limx→fx0＋Δx－fx0－ΔxΔx＝220limx→fx0－Δx＋2Δx－fx0－Δx2Δx＝2f′(x0)；所以①③正确．故选B.③0limx→fx0＋2Δx－fx0＋ΔxΔx＝0limx→fx0＋Δx＋Δx－fx0＋ΔxΔx＝f′(x0)；④0limx→fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔx＝330limx→fx0－2Δx＋3Δx－fx0－2Δx3Δx＝3f′(x0)．答案：B【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式0limk→fx0＋k－fx0k＝f′(x0)．其中k(一般用Δx表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中k的一致性．【互动探究】A．－1B．－2C．1D.121．若f′(x0)＝2，则0limk→fx0－k－fx02k＝()A解析：∵f′(x0)＝0limk→f[x0＋－k]－fx0－k＝2(Δx＝－k)，∴0limk→fx0－k－fx02k＝－120limk→f[x0＋－k]－fx0－k＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1.考点2导数的计算例2：(1)函数f(x)＝sinx＋a2的导函数f′(x)＝________；(2)(2013年广东珠海二模)函数y＝sinxx的导函数y′＝___；解析：∵函数f(x)＝sinx＋a2的自变量为x，a为常量，∴f′(x)＝cosx.答案：cosx解析：y′＝sinx′·x－sinx·x′x2＝xcosx－sinxx2.答案：xcosx－sinxx2(3)(2013年辽宁大连期末)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，)则x0＝(A．e2B．EC.ln22D．ln2解析：f′(x)＝1＋lnx，∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2.∴lnx0＝1.∴x0＝e.故选B.答案：B【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数尤其是对含有多个字母的函数时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如fx＝x2＋sinα的自变量为x，而fα＝x2＋sinα的自变量为α.【互动探究】2．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________.2解析：设ex＝t，x＝lnt，f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，f′(x)＝1x＋1，f′(1)＝11＋1＝2.考点3曲线的几何意义例3：(2014年广东)曲线y＝e-5x＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．解析：y′|x＝0＝－5e-5x|x＝0＝－5，即斜率为k＝－5，所以切线的方程为y＋2＝－5x，即5x＋y＋2＝0.答案：5x＋y＋2＝0【规律方法】求曲线y＝fx在点Px0，fx0处该点为切点的切线方程，其方法如下：①求出函数y＝fx在x＝x0处的导数f′x0，即函数y＝fx在点Px0，fx0处的切线的斜率；②切点为Px0，fx0，切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0.【互动探究】3．(2013年广东)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.12解析：y′＝2ax－1x，则y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.4．(2014年江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．－3解析：曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，有4a＋b2＝－5，y′|x＝2＝2ax－bx2x＝2＝4a－b4＝－72.解方程组，得a＝－1，b＝－2.则a＋b＝－3.●易错、易混、易漏●⊙过点求切线方程应注意该点是否为切点例题：已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，若过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，则切线方程为______________．∴曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上．正解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，由题意x＝±1是方程f′(x)＝0的根，∴3a＋2b－3＝0，3a－2b－3＝0.解得a＝1，b＝0.答案：9x－y＋16＝0设切点为M(x0，y0)，则y0＝x30－3x0.∵f′(x0)＝3(x20－1)，∴切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．∵点A(0,16)在切线上，∴16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．化简，得x30＝－8.解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，k＝9.∴切线方程为9x－y＋16＝0.【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线y＝1与y＝sinx相切，却有无数个公共点”，而“直线x＝1与y＝x2只有一个公共点，显然直线x＝1不是切线”．(2)求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：①求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；②切点为P(x0，f(x0))，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)求曲线y＝f(x)外点P(x0，f(x0))(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：①设切点A(xA，xB)，求切线的斜率k＝f′(xA)；②利用斜率公式k＝y0－yAx0－xA＝f′(xA)建立关于xA的方程，解出xA，进而求出切线方程．