【高考复习方案】专题4-立体几何-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用

第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积第11讲空间中的平行与垂直第12讲空间向量与立体几何专题四立体几何第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积返回目录考点考向探究核心知识聚焦第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积体验高考返回目录核心知识聚焦1．[2013·湖南卷改编]已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图①的面积的取值范围是________．[答案][1,2][解析]由题可知，该正方体的俯视图恰好是正方形，则正视图面积的最大值应是1×1＋1＝2，最小值为1，故面积的取值范围为[1,2]．⇒空间几何体的三视图和直观图关键词：空间几何体、三视图(正视图、侧视图、俯视图)，如①②③.主干知识第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积体验高考返回目录核心知识聚焦2．[2013·四川卷改编]一个几何体的三视图②如图10­1所示，则该几何体为________．图10­1[答案]圆台[解析]根据三视图可知该几何体为圆台．第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积体验高考返回目录3．[2014·新课标全国卷Ⅰ改编]如图10­2所示，网格纸的各小方格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图③，则这个几何体是_____________．图10­２核心知识聚焦第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积返回目录[答案]三棱柱[解析]从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱．核心知识聚焦第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积体验高考返回目录4．[2014·浙江卷改编]某几何体的三视图如图10­3所示，则此几何体的表面积④是__________．图10­3⇒空间几何体的表面积和体积关键词：空间几何体、表面积、体积，如④⑤.主干知识核心知识聚焦第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积返回目录[答案]138[解析]该几何体的直观图如图所示，其表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2×12×3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138.核心知识聚焦体验高考返回目录5．[2013·浙江卷]若某几何体的三视图(单位：cm)如图10­4所示，则此几何体的体积⑤等于________cm3.图10­4第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积核心知识聚焦返回目录[答案]24[解析]此几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三棱锥而得，如图所示，则体积为12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24.第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积核心知识聚焦体验高考返回目录6．[2013·天津卷]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上⑥，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为______．[答案]3⇒球与多面体关键词：球、多面体、多面体的外接球、多面体的内切球、表面积、体积，如⑥.主干知识第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[解析]设正方体的棱长为a，则43π3a23＝92π，解之得a＝3.核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——知识必备空间几何体正视图在平行投影中，光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图侧视图在平行投影中，光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图三视图俯视图在平行投影中，光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等；俯视图与正视图长对正画法使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其他部分空间几何体直观图面积关系水平放置的平面图形的面积为S，使用斜二测画法画出的直观图的面积为S′，则S＝22S′第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积返回目录——教师知识必备——表面积体积棱柱S全＝S侧＋2S底V＝S底·h高棱锥S全＝S侧＋S底V＝13S底·h高棱台S全＝S侧＋S上底＋S下底V＝13(S′＋S′S＋S)h(S′，S：上、下底面积，h：高)空间几何体表面积和体积圆柱S全＝2πr2＋2πrh(r：底面半径，h：高或母线长)表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和V＝πr2h(r：底面半径，h：高)V锥＝13S·hV台＝13（S′＋S′S＋S）hV柱＝S·h第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积返回目录——教师知识必备——表面积体积圆锥S全＝πr2＋πrl(r：底面半径，l：母线长)V＝13πr2h(r：底面半径，h：高)圆台S全＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r：下底半径，r′：上底半径，l：母线长)V＝13π(r′2＋r′r＋r2)h(r′，r：上、下底半径，h：高)V锥＝13S·hV台＝13（S′＋S′S＋S）hV柱＝S·h空间几何体表面积和体积球S球＝4πR2(R为球的半径)表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和V球＝43πR3(R为球的半径)第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究►考点一三视图与直观图空间几何体——柱、锥、台、球，组合体的结构特征的应用三视图——1.根据三视图得出空间几何体；2.根据空间几何体得出三视图直观图——1.由直观图判断空间几何体；2.根据已知条件画出空间几何体的直观图帮助解题题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：三视图及相关计算返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积例1已知四棱锥P­ABCD的三视图如图10­5所示，则围成四棱锥P­ABCD的五个面中面积的最大值是()A．3B．6C．8D．10图10­5考点考向探究返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[解析]四棱锥P­ABCD的直观图如图所示，其中侧面PCD⊥底面ABCD，且顶点P在平面ABCD内的射影为CD的中点E，取AB的中点F，连接PF，FE，PE.易知PE＝5，EF＝2，所以PF＝3.显然四棱锥的四个侧面中△PAB的面积最大，其面积为12×4×3＝6，又底面积为4×2＝8，故四棱锥P­ABCD的五个面中面积的最大值为8.[答案]C考点考向探究返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[小结]根据三视图判断空间几何体的形状，基本方法是根据三视图的画法进行逆向思维，借助已知的空间几何体的结构特点，结合题目要求进行肯定或否定的判断．要特别注意三视图中“眼见为实、不见为虚”的画法规则．考点考向探究返回目录变式题已知棱锥的正视图与俯视图如图10­6所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()正视图俯视图图10­6ABCD图10­7第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录[解析]该三棱锥的直观图如图所示，其中PC⊥底面ABC，底面为边长为2的正三角形，高为2，故其侧视图为选项B中的图形．[答案]B第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录►考点二空间几何体的表面积与体积空间几何体表面积和体积——1.根据三视图计算空间几何体的表面积和体积；2.一般的空间几何体的表面积和体积的计算题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：根据空间几何体的三视图计算表面积和体积第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录例2(1)已知某几何体的三视图如图10­8所示，则该几何体的体积为()A．22B．823C．32D．1023图10­8图10­9(2)某几何体的三视图如图10­9所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为()A．32πB．π＋3C．32π＋3D．52π＋3第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录[答案](1)Ｄ(2)Ｃ第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[解析](1)该几何体的直观图是三棱柱ABC­A1B1C1切割掉两个三棱锥D­ABC，D1­A1B1C1后剩下的部分．三角形ABC中，AB边上的高为1，AB＝22，CD＝1，所以V三棱锥D­ABC＝13×12×22×1×1＝23.又AA1＝4，三棱柱ABC­A1B1C1的体积为12×22×1×4＝42，故所求的几何体的体积为42－2×23＝1023.考点考向探究返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[小结]高考中求体积和表面积的试题往往与空间几何体的三视图结合．根据空间几何体的三视图还原空间几何体，弄清楚空间几何体的结构再进行计算．体积的计算需要空间几何体的底面积和高，多面体表面积的计算需要把各个面的结构弄清楚，分别计算各个面的面积，求和得表面积．在计算面积时要注意是求表面积(全面积)，还是侧面积．(2)由三视图可知，该几何体为半个圆锥，其底面半圆的半径为1，高为3，故所求表面积为12×2×3＋12×π×12＋12×π×2＝3＋32π.考点考向探究返回目录变式题(1)某几何体的三视图如图10­10所示，则该几何体的体积是()A．23π＋6B．116πC．113πD．23＋6π图10­10第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录(2)某几何体的三视图如图10­11所示，则该几何体的表面积为________．图10­11第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录[解析](1)由三视图知，该几何体为半个圆锥和半个圆柱的组合体，圆柱的底面半径是1，高是3，圆锥的底面半径是1，高是2.故该几何体的体积为π×12×3×12＋13π×12×2×12＝116π.(2)该几何体为一个圆柱和一个三棱柱的组合体，S圆柱＝2×π×22＋1×4π＝12π，S三棱柱＝2×12×2×2＋2×2×5＋2×2＝8＋45，所以该几何体的表面积为12π＋8＋45－2×2×2＝12π＋45.[答案](1)B(2)12π＋45第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录►考点三多面体与球球的表面积和体积——计算球的表面积和体积球与多面体——多面体外接球、内切球的相关计算题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：多面体外接球的表面积和体积的计算第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录例3已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且AB＝BC＝2，AC＝22.若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O的表面积为()A.16π3B．8πC．9πD．12π第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[解析]∵△ABC满足AB＝BC＝2，AC＝22，即AC2＝AB2＋BC2，∴∠ABC＝90°，∴△ABC截球所得的圆的半径为12AC＝2.设四面体ABCD中△ABC所在面上的高为h.则V四面体ABCD＝13·S△ABC·h＝13×12×2×2×h＝23h.[答案]Ｃ考点考向探究返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积又四面体ABCD的体积的最大值为43.此时h＝2.设球O的半径为R，球心O到△ABC截球所得的面的距离为d.当D到△ABC所在平面的距离最远时，V四面体ABCD取得最大值43，此时h＝d＋R.又∵d＝R2－r2＝R2－2.∴2＝R2－2＋R.解得R＝32.故所求球O的表面积为4π322＝9π.考点考向探究返回目录第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积[小结]球中内接一个多面体是高考的一个重要命题点．如果一个多面体内接于一个球，那么它的各个面上的多边形都是圆的内接多边形，球心到各个顶点的距离都等于球的半径．考点考向探究返回目录变式题某几何体的三视图如图10­12所示，则该几何体的表面积为()A．2＋1＋52πB．2＋1＋252πC．2＋(1＋5)πD．2＋2＋52π图10­12第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录[解析]由几何体的三视图可知，该几何体为半个圆锥，其底面半径是1，高是2，所以母线长为5，所以其表面积为12π×12＋12π×5＋12×2×2＝2＋1＋52π.[答案]A第10讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点考向探究返回目录例1【配例1使用】[2013·新课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()——教师备用例题——第10讲空间