步步高第三章-3.1

§3.1导数的概念及运算数学北（理）第三章导数及其应用基础知识题型分类思想方法练出高分知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率ΔyΔx＝＝fx0＋Δx－fx0Δx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝.fx1－fx0x1－x0平均变化率趋于一个固定的值limx1→x0fx1－fx0x1－x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx基础知识题型分类思想方法练出高分(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点处的．相应地，切线方程为．3．函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习(x0，f(x0))切线的斜率y－f(x0)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝f′(x0)(x－x0)基础知识题型分类思想方法练出高分4．基本初等函数的导数公式函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α为实数)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝tanxf′(x)＝f(x)＝cotxf′(x)＝知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习0αxα－1cosx－sinx1cos2x－1sin2x基础知识题型分类思想方法练出高分f(x)＝ax(a0)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习axlnaex1xlna1x基础知识题型分类思想方法练出高分知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)fxgx′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数函数y＝f(φ(x))称为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，其导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2f′(u)φ′(x)基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析123452D基础知识·自主学习B13(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数解f′(x0)＝0limxxfx－fx0x－x0＝0limxxx3－x30x－x0＝0limxx(x2＋xx0＋x20)＝3x20.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x30＝3x20·(x－x0)，思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数即y＝3x20x－2x30，由y＝x3，y＝3x20x－2x30，得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.思维启迪解析思维升华若x0≠0，则交点坐标为(x0，x30)，(－2x0，－8x30)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1；(3)计算导数f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx.思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)函数y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx＝___________；该函数在x＝1处的导数是________．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0fx0＋h－fx0－hh的值为()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0解析(1)∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x－1x＝Δx＋1x＋Δx－1x＝Δx＋－Δxxx＋Δx.题型分类·深度剖析1－1xx＋Δx0∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx.y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝0.基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)函数y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx＝___________；该函数在x＝1处的导数是________．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0fx0＋h－fx0－hh的值为()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0解析(2)limh→0fx0＋h－fx0－hh＝2×limh→0fx0＋h－fx0－h2h题型分类·深度剖析B1－1xx＋Δx0＝2f′(x0)．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二导数的运算思维启迪解析思维升华【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．题型分类·深度剖析题型二导数的运算求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．题型分类·深度剖析题型二导数的运算解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝ex(lnx＋1x)．思维启迪解析思维升华(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)y＝sin2(2x＋π3)＝12－12cos(4x＋23π)基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．题型分类·深度剖析题型二导数的运算故设y＝12－12cosu，u＝4x＋23π，则yx′＝yu′·ux′＝12sinu·4思维启迪解析思维升华＝2sinu＝2sin(4x＋23π)．(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，因此y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．题型分类·深度剖析题型二导数的运算(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；思维启迪解析思维升华(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2求下列函数的导数．(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝sinx2(1－2cos2x4)；(3)y＝ln(x2＋1)．解(1)方法一∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，题型分类·深度剖析∴y′＝3x2＋12x＋11.方法二y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2求下列函数的导数．(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝sinx2(1－2cos2x4)；(3)y＝ln(x2＋1)．(2)∵y＝sinx2(－cosx2)＝－12sinx，题型分类·深度剖析∴y′＝(－12sinx)′＝－12(sinx)′＝－12cosx.(3)y′＝ln(x2＋1)′＝1x2＋1·(x2＋1)′＝2xx2＋1.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义【例3】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，思维启迪解析思维升华∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，思维启迪解析思维升华∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(