步步高第三章-专题一

数学北（理）专题一高考中的导数应用问题第三章导数及其应用考点自测高考题型突破练出高分题号答案解析12345AA[－2，－1]自我检测查缺补漏考点自测D[e，＋∞)考点自测高考题型突破练出高分高考题型突破题型一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．思维启迪解析考点自测高考题型突破练出高分【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．(1)先求切点和斜率，再求切线方程；(2)先求f′(x)，然后分a＝0，a0，a0三种情况求解．题型一利用导数研究函数的单调性高考题型突破思维启迪解析考点自测高考题型突破练出高分【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．解(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，题型一利用导数研究函数的单调性f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.高考题型突破从而y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.思维启迪解析考点自测高考题型突破练出高分【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.题型一利用导数研究函数的单调性①当a＝0时，若x0，则f′(x)0，若x0，则f′(x)0.所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a0时，由2x－ax20，解得x0或x2a，由2x－ax20，解得0x2a.高考题型突破思维启迪解析考点自测高考题型突破练出高分【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．所以当a0时，函数f(x)在区间(－∞，0)，(2a，＋∞)上为减函数，在区间(0，2a)上为增函数．题型一利用导数研究函数的单调性③当a0时，由2x－ax20，解得2ax0，由2x－ax20，解得x2a或x0.所以，当a0时，函数f(x)在区间(－∞，2a)，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2a，0)上为减函数．高考题型突破思维启迪解析考点自测高考题型突破练出高分【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；题型一利用导数研究函数的单调性当a0时，f(x)在(－∞，0)，(2a，＋∞)上单调递减，在(0，2a)上单调递增；当a0时，f(x)在(2a，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．高考题型突破思维启迪解析考点自测高考题型突破练出高分跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．高考题型突破解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解之，得a＝－1.考点自测高考题型突破练出高分高考题型突破跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值考点自测高考题型突破练出高分高考题型突破跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是－13，1.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，考点自测高考题型突破练出高分高考题型突破跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．考点自测高考题型突破练出高分题型二利用导数研究与不等式有关的问题【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．思维启迪解析思维升华高考题型突破考点自测高考题型突破练出高分【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．(1)求f′(x)，讨论参数t求最小值；思维启迪解析思维升华(2)分离a，利用求最值得a的范围；(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值．题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破考点自测高考题型突破练出高分【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．(1)解由f(x)＝xlnx，x0，得f′(x)＝lnx＋1，思维启迪解析思维升华令f′(x)＝0，得x＝1e.当x∈(0，1e)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(1e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破①当0t1et＋2，即0t1e时，f(x)min＝f(1e)＝－1e；考点自测高考题型突破练出高分【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．②当1e≤tt＋2，即t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt.思维启迪解析思维升华所以f(x)min＝－1e，0t1etlnt，t≥1e.题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破考点自测高考题型突破练出高分【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．(2)解2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋3x，思维启迪解析思维升华设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x0)，则h′(x)＝x＋3x－1x2，①当x∈(0,1)时，h′(x)0，h(x)单调递减，②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破考点自测高考题型突破练出高分【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．(3)证明问题等价于证明xlnxxex－2e(x∈(0，＋∞))．思维启迪解析思维升华由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x＝1e时取到，设m(x)＝xex－2e(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－xex，易知m(x)max＝m(1)＝－1e，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破考点自测高考题型突破练出高分【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．思维启迪解析思维升华(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破考点自测高考题型突破练出高分跟踪训练2已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤16x3.(1)解令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．若0a1，存在x0∈(0，π2)，使得cosx0＝a，当x∈(0，x0)，h′(x)＝cosx－a0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)h(0)＝0，不合题意，结合f(x)与g(x)的图像可知a≤0显然不合题意，高考题型突破综上可知，a≥1.考点自测高考题型突破练出高分跟踪训练2已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤16x3.(2)证明当a取(1)中的最小值1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－16x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－12x2.令G(x)＝1－cosx－12x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－12