全国高中数学联赛模拟试题(四)

全国高中数学联赛模拟试题(四)第一试一、选择题(共36分)1.设变量x满足x2＋bx≤－x(b＜－1)，且f(x)＝x2＋bx的最小值为－12，则b＝()A.－2B.－32C.－2D.－2或－322.已知x∈(π2，2π3)，给出下列六个不等式①sin(sinx)＜cos(cosx)②sin(cosx)＜sin(sinx)③cos(sinx)＜cos(cosx)④cos(sinx)＜sin(sinx)⑤cos(cosx)＜sin(cosx)⑥sin(cosx)＜cos(sinx)其中成立的个数为()A.3B.4C.5D.63.设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，若x1是虚数，x12x2是实数，则S＝1＋x1x2＋(x1x2)2＋(x1x2)4＋(x1x2)8＋……＋(x1x2)21995的值为()A.0B.－998C.998D.－9974.在空间，从一点O出发引四条射线OA，OB，OC，OD，如果∠AOB＝∠BOC＝∠DOA＝∠AOC＝θ，则θ的值为()A.π－arcsin13B.π－arcsin23C.π－arccos13D.π－arccos235.已知a＞32，则y＝(sinx＋a)(cosx＋a)的最小值为()A.a2－aB.(a－1)2C.12(a2－1)D.(a－)26.在有穷数列{an}中，首项a1＝1，末项an＝1997(n＞3)，若公差是自然数，则项数n的所有取值之和是()A.3504B.3501C.1587D.1997二、填空题(共54分)7.用1和2这两种数字写n位数，其中任意相邻两位不全为1，记n位数的个数为f(n)，则f(10)＝________________.8.已知复数z0，z1，z2，…，zn，…满足z0＝0，z1＝1，zn＋1－zn＝α(zn－zn－1)，α＝1＋3i，n＝1，2，…，则在圆|z|＝10的内部共含有zn的个数为_____________.9.对满足不等式|log2p|＜2的一切实数p中，使不等式x2＋px＋1＞3x＋p都成立的x的取值范围是_______________________.10.已知等腰梯形的最大边长为13，周长为28，面积为27，则它的最小边长为___________.11.若对非零常数m，函数f(x)满足f(x＋m)＋f(x－m)＝2f(x)cos2π7(x∈R)，则f(x)是周期函数，它的一个周期是__________________.12.已知π5＜x＜2π，且cosxcos2x＝cosπ5cos2π5，则x的取值为______________.三、解答题(共计60分)13.(20分)用0，1，3，5，7五个数中任意不同的数作为一元二次方程的系数，问：(1)可以作出多少个不同的一元二次方程？(2)在这些方程中有实数根的有多少个？14.(20分)设|S|表示集合S中元素的个数，令n(S)表示包含空集及S自身在内的S的子集个数.如果A，B，C三个集合满足n(A)＋n(B)＋n(C)＝n(A∪B∪C)，|A|＝|B|＝100，那么|A∩B∩C|的最小可能值是多少？15.(20分)在平面上作一条直线，使得平面上三个已知点到这条直线的距离之和达到最小.第二试一、(50分)一次数学竞赛分一、二两试共有28个题目，每个参赛者都恰好解出7个题目，每两个题恰好有两名参赛者解出.试证：必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.二、(50分)如果一个矩形的长和宽都是奇数，在其内部是否存在这样的点，它到四个顶点的距离都是正整数.三、(50分)若四面体的六条棱长分别为a，b，c，d，e，f，体积为V，求证：a6＋b6＋c6＋d6＋e6＋f6≥432V2.其中等号当且仅当四面体为正四面体时取得.全国高中数学联赛模拟试题(四)参考答案第一试一、选择题1.Bx2＋bx≤－x(b＜－1)0≤x≤－(b＋1)f(x)＝(x＋b2)2－b24，当－(b＋1)≥－b2时，b≤－2f(x)min＝f(－b2)＝－b24＝－12b＝－2＞－2矛盾.－(b＋1)＜－b2时，－2＜b＜－1f(x)min＝f(－(b＋1))＝b＋1＝－12b＝－322.C可以验证①②③④⑥均成立，而令x＝2π3时，⑤不成立.3.Dx1与x2共轭，设x1＝r(cosθ＋isinθ)，则x2＝r(cosθ－isinθ)∴x12x2＝r(cos3θ＋isin3θ)∈Rθ＝π3或2π3∴x1x2＝cos2θ＋isin2θ＝－12±32i＝ω或ω2当x1x2＝ω时S＝1＋ω＋ω2＋ω4＋ω8＋……＋ω21995注意到当n≥1时2n不是3的倍数，∴ω2n＝ω或ω2，于是ω2n＋1＝ω2×2n＝(ω2n)2＝ω2或ωS中共计1997项，其中前三项和为0，以后的1994项每两项和为－1，∴S＝－997x1x2＝ω2时同理可得S＝－9974.C可令A，B，C，D构成正四面体，O为其中心，则易得θ＝π－arccos135.D令sinx＋cosx＝t∈[－2，2]则y＝(a＋t2)2－t2－24又因为a＞32＞22所以y≥(a－22)2，当x＝5π4时等号成立，∴ymin＝(a－22)26.Ban＝a1＋(n－1)d即(n－1)d＝1996＝4×499(499为质数)∴n的所有取值之和为4＋499＋2×499＋4×499＝3501二、填空题7.144；考虑数字末位数若为2，则有f(n－1)种，若为1，则第n－1位必为2，有f(n－2)种.∴f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)且f(1)＝2，f(2)＝38.5；zn＋1－zn＝α(zn－zn－1)＝α2(zn－1－zn－2)＝……＝αn(z1－z0)＝αn.∴zn－zn－1＝αn－1，zn－1－zn－2＝αn－2，……，z1－z0＝1n个式子相加得zn＝αn－1α－1当α＝1＋3i时，解不等式|zn|＜10，得n≤4∴n＝0，1，2，3，4共有5个9.(－∞，－1－132]∪[11＋738，＋∞)；解不等式|log2P|＜2得14＜P＜4x2＋(p－3)x＋1－p＞0x＞3－p＋p2－2p＋52或x＜3－p－p2－2p＋52转化为上式求最大值和最小值10.5；首先最大边不能为腰长，否则面积＜2×13×12＜27设下底长为13，上底长为x，则(13＋x)h×12＝27(12(13－x))2＋h2＝(12(15－x))2，解之得x＝5，则腰长为5，故最小边长为5.11.7m；可假设f(x)＝cosx，m＝2π7，则可知7m＝2π为f(x)的一个周期.不难验证7m是f(x)的一个周期.12.{3π5，7π5，9π5，2π3，4π3}cosπ5cos2π5＝5＋14·5－14＝14＝cosxcos2x令cosx＝t，则cos2x＝2t2－1∴2t3－t－14＝0，即(2t－1)(t2－t2－14)＝0∴t＝12或5±14，相应的x＝3π5，7π5，9π5，2π3，4π3三、13．(1)设所作一元二次方程为ax2＋bx＋c＝0，则a≠0a有4种选择，b有4种选择，c有3种选择，共计有4×4×3＝48个不同的一元二次方程.(2)考虑b的取值情况：①b＝0时，方程不可能有实数根；②b＝1时，只能取c＝0，a有三种可能，即有三个方程有实数根；③b＝3时，只能取c＝0，a有三种可能，即有三个方程有实数根；④b＝5时，取c＝0，a有三种可能；取c＝1，a＝3时有一种可能；取c＝3，a＝1时有一种可能.共计5个方程有实数根.⑤b＝7时，取c＝0，a有三种可能；取c＝1时，a＝3或5有两种可能；取c＝3，a＝1有一种可能；取c＝5，a＝1时有一种可能；共计7个方程有实数根.∴共有3＋3＋5＋7＝18个方程有实数根.14．n(S)＝2|S|，∴n(A∪B∪C)＝2100＋2100＋n(C)设|A∪B∪C|＝m·|C|＝P则2m＝2101＋2p，2p(2m－p－1)＝2101∴2m－p－1＝1m－p＝1∴m＝102，P＝101，即|A∪B∪C|＝102，|C|＝101由容斥原理：|A∩B∩C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∪B|－|B∪C|－|C∪A|＋|A∪B∪C|≥97当|A∪C|＝|B∪C|＝|C∪A|＝102时等号成立.∴|A∩Β∩C|min＝9715．(1)当三点在一条直线上时，所求直线就是经过三点的直线.(2)若三点构成三角形，设为△ABC，其边长分别为a，b，c，并设a≥b≥c如果直线不经过其中任何一点，如果三点在直线的同侧，则只需将直线向△ABC靠拢，直到直线经过最近的一个点，显然三点到直线的距离和在减小.对于经过一个顶点的直线，将其绕这一点旋转，使其向经过这一点较长的一边靠拢，则另外两点到该直线的距离和也在减小，直到直线与这一边重合.下面考虑直线与△ABC相交的情况，显然直线至少应该经过三点中的一个点，否则只需将直线向两点的一侧平移，距离和显然减小.而在三角形中，经过一顶点的直线被三角形截得的线段中，当线段与最长边重合时，长度最大，利用面积法可知，此时第三点到这条直线的距离就是所求最小值.即所求直线为△ABC最长边所在的直线.第二试一、记题目组成的集合为X，参赛者组成的m元集合为Y，若yi解出题目xj，就在yi，xj之间联一条线，设点xj次数为n，它与y1，y2，……，yn相连，则X中每一点恰与yi相连(1≤i≤n)∴2×27＝6nn＝9这个图共有28×9＝7m条边，∴m＝36设初试共有S道试题，解出1道，2道，3道试题的人数分别为α，β，γ，若α＋β＋γ＝36，则α＋2β＋3γ＝9S，β＋C32γ＝2CS2，消去α、γ得β＝－2S2＋29S－108＜0，矛盾.所以，必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.二、假设存在这样的点P满足PA，PB，PC，PD均为整数，过P作矩形各边的垂线，设长度分别为p，q，r，s.且设p＋q＝a，r＋s＝b均为奇数，PD2－PA2＝q2－p2＝(q－p)(q＋p)为整数，可知p－q为有理数.将矩形扩大p＋q倍，则p－q变为整数.∴p，q为m12，n12的形式(m1，n1∈N)，同理，r，s为m22，n22的形式(m2，n2∈N)显然，m1，n1同奇偶，m2，n2同奇偶若m1，m2同为奇，则由4(p2＋r2)≡2(mod4)知p2＋r2不为完全平方数.矛盾.∴m1，m2铜为偶数，∴p，q，r，s均为整数又∵p＋q＝a为奇数，r＋s＝b为奇数，∴p，q中有一个为奇数，不妨设为p，且r，s中有一个奇数，不妨设为r则p2＋r2≡2(mod4)不为完全平方数.矛盾.所以，不存在满足条件的点.三、取AB，CD的中点E，F，则AF2＝12(b2＋c2－12f2)，BF2＝12(d2＋e2－12f2)∴EF2＝14(b2＋c2＋d2＋e2－a2－f2)V≤12AB·EF·CD·13＝224b2＋c2＋d2＋e2－a2－f2af144V≤(b2＋c2＋d2＋e2－a2－f2)a2·f2≤14(b2＋c2＋d2＋e2－a2－f2)2a2·2f2ApqDBsrCPABECDFfedabc≤14(a2＋b2＋c2＋d2＋e2＋f26)3≤2·(a2＋b2＋c2＋d2＋e2＋f26)3≤2·a6＋b6＋c6＋d6＋e6＋f66(幂平均不等式)∴a6＋b6＋c6＋d6＋e6＋f6≥432V2.