高三数学年级适应性考试

高三数学年级适应性考试数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．含有三个实数的集合可表示为{a,ab,1}，也可表示为{a2,a+b,0}，则a2003+b2003的值为A．0B．1C．—1D．12．由下列各组命题构成“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是A．p：3是偶数，q：4是奇数B．p：3+2=6，q：5＞3C．p：a{a,b}，q：{a}{a,b}D．p：QR，q：N={正整数}3．ABCD为正方形，PD平面ABCD，则二面角A－PB－C的大小范围是A．（0，180）B．（60，180）C．[90，180]D．（90，180）4．不等式x2+x+x1+x2＜0的解集是A．B．RC．RD．{x|xR且x0}5．设2,0(,,），且sin则,coscoscos,sinsin等于A．6B．—3C．3D．—3或36．若能通过适当选择常数a、b，使lim2xbxcax存在，则常数c是A．正数B．零C．负数D．不能判断c的符号7．如果～B（n，P），其中0＜P＜1，那么使P（=k）取最大值的k值A．有且有1个B．有且只有2个C．不一定有D．当（n+1）P为正整数时有2个8．在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列的前13项之和为A．156B．13C．12D．269．已知在ABC中，AB·AC＜0，S△ABC=415，|AB|=3，|AC|=5，则BACA．30B．60C．150D．30或15010．甲、乙分别将1000元按不同方式同时存入银行，甲采用的是一年期整存整取定期储蓄，年利率为2.25﹪，1年后将本利一并取出，并全部存入下一期这种定期储蓄，下一年仍存这种存款；乙采用的是3年期整存整取定期储蓄，年利率为2.70﹪，若1.022531.069，则3年后两人所得的利息（不计利息税）A．相等B．甲比乙多C．甲比乙少12元D．甲比乙少16.5元11．已知f（x）=（x－a）（x－b）－2，并且,是方程f（x）=0的两根，实数a、b、、的大小关系可能是A．＜a＜b＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b12．ABCD为四边形，动点p沿折线BCDA由点B向A点运动，设p点移动的路程为x，△ABP的面积为S，函数S=f（x）的图象如图，给出以下命题：①ABCD是梯形；②ABCD是平行四边形；③若Q为AD的中点时，那么△ABQ面积为10；④当9x14时，函数S=f（x）的解析式为56－4x.其中正确命题为A．①②B．②③C．②④D．①③④第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案直接填在题中横线上．13．有15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是．14．给出下列命题：①若a，b共线，且|a|=|b|，则（a－b）//（a+b）；②已知a=2e，b=3e，则a=23b；③若a=e1－e2，b=－3e1+3e2，且e1e2，则|a|=3|b|；④在△ABC中，AD是中线，则AB=AC=2AD．其中，正确命题的序号是．15．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，有MN//平面B1BDD1。16．已知点F1、F2分别是双曲线22ax－22by=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范1A1C1B1DABCDEFGHNO59S20围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）计算函数f（x）=01sin2xx,在x=0处的导数。18．（本小题满分12分）已知△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2－c2，求tanC的值。19．（本小题满分12分）四棱锥P－ABCD中，底面是正方形，PA垂直于底面，过A的截面AEFG分别交PB、PC、PD于E、F、G，且PC截面AEFG。（1）求证：点A、B、C、D、E、F、G在同一球面上；（2）若PA=AB=1，求截面AEFG截（1）中的球的截面面积。20．（本小题满分12分）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用An、Bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。（1）试以An表示A1n；（2）若A1=200，求{An}的通项公式；（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？21．（本小题满分12分）x0x=0X=0如图Rt△ABC中，CAB=90，AB=2，AC=22，DOAB于O，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变。（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DNDM=，求的取值范围。22．（本小题满分14分）已知函数f（x）=xaax1，aR．(1)当x[a+1，a+2]时，求f（x）的取值范围；(2)证明：函数y=f（x）的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；(3)我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn－1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止。①如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求实数a的取值范围；②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值。高三年级适应性考试答案1．C2．B3．D4．A5．C6．A7．D8．D9．C10．C11．A12．D13．5105154841233CCCCA14．①③④15．M线段FH16．（1，1+2）17．因为f（x）=（x）2·sinx1(x0)，=f（x）－f（0）=（x）2×sinx1,BOACD所以xy=xxx1sin)(2=x·sinx1，所以0limxxy=f（0）=0limx（x·sinx1）=0，即'|=0.18．依题意，得absinC=a2+b2－c2+2ab。由余弦定理知：ab2－c2=2abcosC。absinC=2ab(1+cosC)，即sinC=2（1+cosC）.sin2ccos2c=2cos22c又0＜C＜180，cos2c0，sin2c=2cos2c，即tan2c=2.tanC=2tan12tan22cc=414=－34.19．如图，因为ABCD为正方形，PC截面AEFG，则AFPC，利用直径所对的圆周角是直角，猜想这个球的球心在正方形中心O，可知A、B、C、D、F在以O为球心，21AC为半径的球面上，以下只需证明G、E到O的距离也是21AC即可。证明：（1）设正方形ABCD中心为O，AC=2r，连AF，因为PC平面AEFG、AF平面AEFG，所以PCAF，Rt△AFC中，OF=21AC=r。又CDAD，CDPA，所以CD平面PAD；AG平面PAD，所以CDAG，PCAG，所以AG平面PCD，GC平面PCD，所以AGGC，OG=21AC=r；同理可证：OE=r，所以A、B、C、D、E、F、G各点到O的距离均为r，它们同在以O为球心、21AC为半径的球面上。（2）因为PA=AB=1，所以r=22，因为平面AEFG截球，由（1）知A、E、F、G在球面上，所以AEFG为截面圆上的四个点，又AG平面PCD，FG平面PCD，因为PC=3，所以AF=PCACPA=321=36，截面圆的面积S=（66）2=6。20．（1）依题意，得.1000,3.08.01nnnnnBABAA①将Bn=1000－An代入①，得A1n=0.5An+300②CBGFPEAOD（2）设A1n+=0.5（An+），即A1n=0.5An－0.5，得－0.5=300，=－600.{An－600}是以A1－600=200－600=－400为首项，公比为0.5的等比数列。An－600=－400×0.51n，An=600－400×0.51n。（3）An=Bn，且An+Bn=1000，An=500，得600－400×0.51n=500。0.51n=0.52，n－1=2，n=3。即第三个星期一时，选A菜与选B菜的人数相等。21．（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立如图所示的直角坐标系。|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=22+22)22(2=22，所以动点的轨迹是椭圆，设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=2，c=1，b=1，曲线E的方程为：22x+y2=1。（2）设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程化简整理得：（2k2+1）x2+8kx+6=0.设点M、N的坐标分别为（x1y1），（x2y2），则12612806)12(4)8(22122122kxxkkxxkk（i）当l与y轴重合时，=||||DNDM=31；（ii）当l与y轴不重合时，由①得k223，又=DNDM=DNDMxxxx=21xx,x2x10或x2x10，0121221)(xxxx=21xx+12xx+2=+1+2①②③xylADBNMCO21221)(xxxx=)12(66422kk=)12(3322k，而k223，63(2+21k)8，4)12(3322k316，由4+1+2316得2+1310，213101,10解得311，综合（i）（ii）得的取值范围为[31，1。22．f(x)=－1－ax1在[a+1，a+2]上是增函数，又f(a+1)=－2，f(a+2)=－23，f(x)[－2，－23](2)证明：设点P（x0，y0）是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=－1－ax01，点P关于点（a，－1）的对称点为P（2a－x0，－2－y0）.f(2a－x0)=－1－00000111122,1121xaaxyxaaxaf(2a－x0)=－2－y0，即点P,在函数y=f(x)的图象上，所以函数y=f(x)的图象关于点（a，－1）成中心对称图形。（3）①根据题意，只需xa时，f(x)=x有解，即xxaax1有解，即x2+(1－a)x+1－a=0有不等于a的解。将x=a代入方程左边，得左边=1，故方程不可能有解x=a。由△0时，得a－3或a1，即为所求实数a的取值范围。②根据题意，axaax1在R中无解，即xa时，（1+a）x=a2+a－1无解。由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a－1的解，所以对于任意xR，（1+a）x=a2+a－1无解。a=－1，即为所求a有值。