高三第二学期数学第二次质检

高三第二学期数学第二次质检数学第Ⅰ卷（选择题选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22圆台的体积公式：2211221()3Vhrrrr其中12,rr分别为圆的上、下底面半径，h表示圆台的高球体的体积公式：343VR球其中R表示示的半径。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合2{|0},{|(1)1,}MxxmNyyxxR，若MN，则实数m的取值范围是（）（A）m≥-1（B）m-1（C）m≤-1（D）m-1（2）若直线l过点（3，0）且与双曲线224936xy只有一个公共点，则这样的直线有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条（3）|43|3zi中的复数z的模应满足的不等式是（）（A）|z|8（B）|||43|zi（C）2||8z（D）5||8z（4）（文）在复平面内，把复数33i对应的向量按顺时针方向旋转6，所得向量对应的复数是（）（A）23（B）33i（C）23i（D）33i（理）设点P对应的复数是3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点P的极坐标是（）（A）3(32,)4（B）5(32,)4（C）5(3,)4（D）3(3,)4（5）（文）设P（x,y）是曲线22:430Cxyx上任意一点，则yx的取值范围是（）（A）[3,3]（B）(,3][3,)（C）33[,]33（D）33(,][,)33（理）设P（x,y）是曲线2cos:sinxCy（为参数，02）上任意一点，则yx的取值范围是（）（A）[3,3]（B）(,3][3,)（C）33[,]33（D）33(,][,)33（6）A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有（）（A）12种（B）20种（C）24种（D）48种（7）设函数2()11(01)fxxx，则f(x)的反函数1()yfx的图象是（）（8）用一块长3m，宽2m的矩形木板，在二面角为90°的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是（）（9）在等比数列{}na中，1234162,18,aaaa那么45aa等于（）（A）6（B）-6（C）±2（D）±6（10）已知凸函数的性质定理：“若函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意12,,,,nxxx有：12121[()()()]()nnxxxfxfxfxfnn”若函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinsinsinABC的最大值是（）（A）12（B）32（C）332（D）32（11）一个半径为R的球，在一个水平放置的，内壁为半圆柱形（圆柱底面半径也是R）的槽内恰好可以无滑动地滚动一周，从槽的一端滚向另一端，设球的表面积为s，槽的内壁面积为s’，则s与s’的大小关系是（）（A）'ss（B）'ss（C）'ss（D）不确定（12）若a1，()log()|1|maafxmRx，则f(-1)与f(π)的大小关系是（）（A）f(-1)f(π)（B）f(-1)=f(π)（C）f(-1)f(π)（D）不确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若(31)()nxnN的展形式中各项系数的和为128，则展开式中2x项的系数为____________。（14）是正实数，如果函数()2sinfxx在[,]34上是增函数，那么的取值范围是________________________。（15）在数列{}na中，0,nnas是它的前n项和，且2421()nnnsaanN，则它的通项公式是na=______________________。（16）已知椭圆22121,,4xyFF是它的两个焦点，若P是椭圆上任意一点，2212||||PFPF的最小值是________________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列。（Ⅰ）求证03B；（Ⅱ）求1sin2sincosByBB的取值范围。（18）（本题满分12分）已知a1，2()log(1)(1)afxxxx。（文）（Ⅰ）求函数f(x)的反函数1()fx；（Ⅱ）试比较11()()(22)2xxfxgx与的大小。（理）（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）求函数f(x)的反函数1()fx；（Ⅲ）试比较11()()(22)2xxfxgx与的大小。（19）（本小题满分12分）（文）如图，在三棱柱ABC-'''ABC中，四边形''AABB是菱形，四边形''BCCB是矩形，''CBAB。（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；（Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°，求直线AC′与平面BCC′所成角的正弦值。（理）如图，在三棱柱ABC-'''ABC中，四边形''AABB是菱形，四边形''BCCB是矩形，''CBAB，且C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°。（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；（Ⅱ）求直线AC′与平面BCC′所成角的大小（用反三角函数表示）（Ⅲ）求三棱锥A′BCC′的体积。（20）（本小题满分12分）（文）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式13,55PxQx。现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？（理）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式13,55PxQx。现有a万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？（21）（本小题满分13分）已知椭圆中心在原点，以抛物线216(1)yx的焦点为其右焦点，并且椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，A、B是椭圆上两点，弦AB中点M在直线x=4上。（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求证弦AB的重直平分线l与x轴交于定点。（Ⅲ）（只理科做）求直线l的斜率的取值范围。（22）（本小题满分13分）（文）已知函数2()2fxx，记数列{}na的前n项和为ns，且有1(1),af当2n时，221(52)()2nnsnnfa。（Ⅰ）计算1234,,,aaaa；（Ⅱ）求出数列{}na的通项公式，并给予证明。（理）已知函数2()fxpxqx，其中p0,p+q1，对于数列{}na，设它的前n项和为ns，且满足()()nsfnnN。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式，并证明11()nnaanN；（Ⅱ）求证：点312123(1,),(2,),(3,),;(,)123nnssssMMMMnn在同一直线1l上；（Ⅲ）若过点1122(1,),(2,)NaNa作直线2l的夹角为，求tg的最大值。答案题号123456789101112答案DCCBCCBADCBC一、填空题：每小题4分，共16分。（13）－189（14）230（15）2n-1（16）8三、解答题：共74分（17）（本小题满分12分）（Ⅰ）证：由已知，acb2212222cos22222acacacacaccaacbcaB。由余弦函数单调性可知30B。（5分）（Ⅱ）解：)4sin(2cossincossin)cos(sincossin2sin12BBBBBBBBBBy（9分）30B，12744B。2)4sin(21,1)4sin(22BB。即21y。时（12分）（18）（本题满分12分）解（Ⅰ）11,1,12xxxa。01(log2xxya。1(log,1(log)(22xxyxxxfyaa。yyaxxaxx1,122两式相加，得)(21yyaax。),0(),(21)()(1xaaxfxfxx的反函数。过且过（6分）（Ⅱ）当),0(x时，（12分）（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：三棱柱ABC—A′B′C′中，。C′B′//CB，又C′B′⊥AB，∴CB⊥AB。又四边形BCC′B′是矩形，CBB′B，∴CB⊥平面A′AB。∵CB平面CA′B∴平面BCC⊥平面AAB。（4分）（Ⅱ）解：过A作AH⊥BB′于H，连C′H。∵CB平A′AB，CB平面BCC′，∴平面BCC′⊥平面AAB。∴AH⊥平面BCC。∴∠AC′H为AC′与平面BCC′所成角。连接A′B交于A′B于O，由四边形A′ABB′是菱形，ABB′=60O，可知ABB′为等边三角形，而H为BB中点，又AB′=4，AH=，于是在RtC′B′A中，AC′=53422在Rt△AHC中，.532arcsin,532sinHCACAH故直线AC′与平面BCC′所成角为.532arcsin（8分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，平面BCC′⊥平面A′AB，AH⊥BB′，∴AH⊥平面BCC′。∴点A到平面BCC′的距离即为AH=AB×32sinBAB。∵A′A//B′B，A′A//平面BCC′。∴点′到平面BCC′的距离也为32。hs31VCBCCBCA=AHCCBC21313432432131（12分）（20）（本小题满分12分）解：设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为（3-x）万元，获得的利润总额为y万元。（2分）由题意，得]3,0[,35351xxxy。（6分）设]3,0[,3,32ttxtx则，那么tty53)3(512].3,0[,2021)23(512tt.2021,]3,0[23maxyt时当（10分）即43493x，494333x。因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元。（12分）（21）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为：)0(12222babyax。依题意，易知抛物线焦点坐标为（3，0）。∴c=3又由已知，有9ba3ab222∴解之，得a=5，b=4。椭圆方程为1162522yx。（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题设易知y1≠y2，且弦AB中点M（2,421yy）。AB垂直平分线l方程为：)4(2212121xyyxxyyy令)(24,0212221xxyyxy得①∵A、B坐标满足椭圆方程：2521x11621y，2522x11622y两式相减：))((2516)(2516212122212221xxxxxxyy)(2512821xx。代入①式得2536)(2)(2512842121xxxxx∴AB垂直平分线l与x轴交于定点T（)0,2536。（9分）（22）（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知，当nnaafn22)(,2时),25(21)(22nnafsnn)25(212222nnasnn即