高考数学第一次诊断性考试

高考数学第一次诊断性考试数学(理工农医类)本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共四页．全部解答都写在答卷(卡)上，不要写在本题单上．120分钟完卷，满分150分．第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B铅笔写、涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不准答在本题单上．3．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：knkknnPPCkP)1()(；正棱锥、圆锥的侧面积公式clS21锥侧其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；球的体积公式334RV球其中R表示球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．已知集合P={－1，0，1}，Q={y︱y=sinx，x∈P}，则P∩Q是CA．{－1，0，1}B．{0，1}C．{0}D．{1}2．设两个集合A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}，那么可以建立从A到B的映射个数是BA．720B．243C．125D．153．若不等式∣ax+2∣＜6的解集为(－1，2)，则实数a等于AA．－4B．4C．－8D．84．已知函数f(x)的图象恒过点(1，1)，则f(x－4)的图象过DA．(－3，1)B．(1，5)C．(1，－3)D．(5，1)5．已知xxfxf26log)()(满足函数，那么f(16)等于DA．4B．34C．16D．326．定义在实数集R上的函数y=f(－x)的反函数是)(1xfy，则AA．y=f(x)是奇函数B．y=f(x)是偶函数C．y=f(x)既是奇函数，也是偶函数D．y=f(x)既不是奇函数，也不是偶函数7．下列求导正确的是BA．211)1(xxxB．2ln1)(log2xxC．)3(x=3x·log3eD．)cos(2xx=－2xsinx8．设随机变量的分布列为,3,2,1,)31()(iaiPi则a的值是DA．1B．139C．131D．13279．)321132112111(limnn的值为AA．2B．0C．1D．不存在10．已知z∈C，满足不等式0ziizzz的点Z的集合用阴影表示为CA．B．C．D．11．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，且不受其它投篮结果的影响．设甲投篮的次数为，若甲先投，则)(kPBA．4.06.01kB．76.024.01kC．6.04.01kD．24.076.01k12．我们用记号ie来表示复数cos+isin，即sincosiei(其中e=2.71828…是自然对数的底数，的单位是弧度)．则：xyOxyO1xyO1xyO－1①iei222；②sin2iiee；③01ie．其中正确的式子代号为CA．①B．①②C．①③D．②③第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．一个公司有N个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本(N是n的倍数)．已知某部门被抽取了m个员工，那么这一部门的员工数是．nmN14．)1311(lim31xxx．－115．计算：3)2321(i．－116．关于函数)0(2)0(21)(xaxxaxxf)0(aa是实常数且，下列表述不正．．确．的是．(填写答案序号)①③④①它是一个奇函数；②它在每一点都连续；③它在每一点都可导；④它是一个增函数；⑤它有反函数．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分)设随机变量服从正态分布：~N(1，22)，试求：(Ⅰ))20(P；(Ⅱ)求常数c，使)(32)(cPcP．参考数据：(0)=0.5；(1)=0.8413；(2)=0.9772；(0.5)=0.6915；(1.88)=0.9697；(3)=0.9987．17．解：(Ⅰ)由)0()2()20(FFP=)210()212(=)5.0()5.0(=21)5.0(=216915.0=0.3830．(Ⅱ)由已知可得)](1[32)(cPcP，∴32)(33cP，即32)2133c（，∴9697.0)21(c，∴88.121c，c=4.76．18．(本题满分12分)已知函数332xxay在[0，2]上有最小值8，求正数a的值．解：设43)23(3322xxxu，当x∈[0，2]时，可得]3,43[u．(1)若a＞1时，则843minay，解得a=16＞1．(2)若0＜a＜1时，则83minay，解得a=2，此与0＜a＜1矛盾，舍去．故正数a=16．19．(本题满分12分)已知p：∣1－2x∣≤5，q：x2－4x+4－9m2≤0(m＞0)，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．解：解不等式可求得：p：－2≤x≤3，q：2－3m≤x≤2+3m(m＞0)．则p：A={x∣x＜－2或x＞3}，q：B={x∣x＜2－3m或x＞2+3m，m＞0}．由已知pq，得AB，从而310.0,332,232mmmm．(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310m为所求实数m的取值范围．20．(本题满分12分)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x＜0时，f(x)=x2－x－2，解不等式f(x)＞0．解：设x＞0，则－x＜0．∴f(－x)=(－x)2－(－x)－2=x2+x－2．而f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)，于是f(x)=－x2－x+2，x＞0．∴.0,2;0,2)(22xxxxxxxf(1)由02,02xxx得)1,0(0)1)(2(,0xxxx．(2)由02,02xxx得10)1)(2(,0xxxx．综上所述，不等式f(x)＞0的解集为{x∣x＜－1或0＜x＜1}．21．(本题满分12分)某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：xx－aP1－pp因此，公司每年收益的期望值为E=x(1－p)+(x－a)·p=x－ap．为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E=0.1a，即x－ap=0.1a，故可得x=(0.1+p)a．即顾客交的保险金为(0.1+p)a时，可使公司期望获益10%a．说明：当事件E发生的概率较小时，即使赔偿数目较大，保险公司仍可获益．例如当P=0.001，a=10000元时，根据上述赔偿办法，顾客只需交纳(0.1+0.001)×10000=1010元保险金，但保险公司仍可期望获益10%a=1000元，当保险公司的顾客较多时，其效益十分可观．22．(本题满分14分)已知函数axxxf)2ln()(在开区间(0，1)内是增函数．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)若数列{an}满足a1∈(0，1)，)()2ln(*1Nnaaannn，证明：101nnaa．(Ⅲ)若数列{bn}满足b1∈(0，1)，)()2ln(2*1Nnbbbnnn，问数列{bn}是否单调？(Ⅰ)解：axxf21)(，由于f(x)在(0，1)内是增函数，∴0)(xf，即021ax在x∈(0，1)时恒成立．∴21xa恒成立，而－2＜x－2＜－1，∴21211x，即12121x，∴a≥1即为所求．(Ⅱ)证明：由题设知，当n=1时，a1∈(0，1)．假设当n=k时，有ak∈(0，1)，则当n=k+1时，有0)2ln(1kkkaaa且1)2ln(1kkkaaa(由第一问知f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函数)，∴n=k+1时命题成立，故0＜an＜1，n∈N*．又∵0)2ln(1nnnaaa，∴101nnaa．(Ⅲ)数列{bn}不具有单调性．令211b，则)2,1(2149ln21)212ln(2)2ln(2112bbb，∴b2＞b1．又∵1＜b2＜2，0＜2－b2＜1，∴ln(2－b2)＜0，∴2223)2ln(2bbbb．由此表明数列{bn}没有单调性．