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第13题图08届高考数学全真模拟试题考试时间150分钟一、填空题(本题共14题,每题5分,共70分,请将正确答案填写在答题试卷上)1、已知R为实数集,2{|20},{|1}MxxxNxx,则)(NCMR.2、若复数iiz1,则|z|.3、已知0<a<1,loglog0aamn,则,mn与1三者的大小关系是.4、如图(下面),一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是.5、设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线sin0xAayc与sinsin0bxyBC的位置关系是.6、已知a与b均为单位向量,它们的夹角为60º,那么|a+3b|等于.7、如图(下面)已知点F1、F2分别是椭圆22221xyab的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF2为正三角形,则该椭圆的离心率e是.8、已知函数|lg|||,(0)()0,(0)xxfxx,则方程0)()(2xfxf的实根共有.9、如果数据x1、x2、…、xn的平均值为x,方差为S2,则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的方差为.10、若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合,则p的值为.11、设奇函数()fx在[1,1]上是增函数,且(1)1f.若函数,2()21fxtat对所有的[1,1]x都成立,则当[1,1]a时,t的取值范围是.12、考察下列一组不等式:,525252,525252,52525232235533442233.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是___________________.13、若框图所给的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是.14、等差数列na的前n项和为nS,公差0d.若存在正整数(3)mm,使得mmaS,则当nm(Nn)时,有_____nnSa(填“”、“”、“=”)..俯视图主视图左视图第4题图xyF1F2BA第7题图否结束开始k=12,s=1输出ss=s×kk=k-1是答题试卷班级姓名学号一、填空题(本题共14题,每题5分,共70分)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、解答题(本题6大题,共90分)15.(本小题满分14分)已知:(3sin,cos),(cos,cos)axxbxx,122)(mbaxf(Rmx,).(1)求()fx关于x的表达式,并求()fx的最小正周期;(2)若]2,0[x时()fx的最小值为5,求m的值.16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程;(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.17.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,60ABADACCDABC,,°,PAABBC,E是PC的中点.(1)证明CDAE;(2)证明PD平面ABE;18、(本小题满分14分)设数列nb的前n项和为nS,且22nnbS;数列na为等差数列,且145a,207a.(1)求数列nb的通项公式;(2)若,1,2,3,nnncabn,nT为数列nc的前n项和.求证:72nT.ABCDPE19.(本小题满分16分)某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,030x≤≤)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?20.(本小题满分18分)已知函数22()ln(0),fxxaxxx(1)若()fx在[1,)上单调递增,求a的取值范围;(2)若定义在区间D上的函数)(xfy对于区间D上的任意两个值21xx、总有以下不等式12121[()()]()22xxfxfxf成立,则称函数)(xfy为区间D上的“凹函数”.试证当0a时,()fx为“凹函数”.高三数学模拟试题班级姓名学号附加题(理科考生做,本大题共4题,满分40分.考试时间30分钟)21.(本题10分)1O和2O的极坐标方程分别为4cos4sin,.(1)把1O和2O的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过1O,2O交点的直线的直角坐标方程.22.(本题10分)已知实数,,abc,d满足3abcd,22222365abcd.试求实数a的取值范围.23.(本小题满分10分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望.24.(本小题满分10分)右图是一个直三棱柱(以111ABC为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知11111ABBC,11190ABC,14AA,12BB,13CC.(1)设点O是AB的中点,证明:OC∥平面111ABC;(2)求二面角1BACA的大小;(3)求此几何体的体积.ABCO1A1B1C数学试题参考答案和评分标准一、填空题(每题5分,共70分)1.{|01}xx2.223.1<n<m4.3345.垂直6.137.338.7个9.9S210.411.2t或0t或2t12.0,,,0,nmbababababamnnmnmnm(或nmbaba,,,0,为正整数).注:填mnnmnmnm525252以及是否注明字母的取值符号和关系,均不扣分;若填mmmm52525211或mmmmbababa11可给3分.13.10k.14.二、解答题(共90分)15.解:(1)2()23sincos2cos21fxxxxm……………………………………………………2分3sin2cos22xxm………………………………………………………………………………………………4分2sin(2)26xm.…………………………………………………………………………………………………………6分()fx的最小正周期是.…………………………………………………………………………………………………7分(2)∵]2,0[x,∴]67,6[62x…………………………………………………………………8分∴当6762x即2x时,函数()fx取得最小值是12m.………………………10分∵512m,∴3m.…………………………………………………………………………………………………12分16.解析:(1)圆C:22(2)(2)8xy;………………………………………………………………6分(2)由条件可知a=5,椭圆221259xy,∴F(4,0),若存在,则F在OQ的中垂线上,又O、Q在圆C上,所以O、Q关于直线CF对称;直线CF的方程为y-1=1(1)3x,即340xy,设Q(x,y),则334022yxxy,解得45125xy所以存在,Q的坐标为412(,)55.…………………………………………14分17.(1)证明:在四棱锥PABCD中,因PA底面ABCD,CD平面ABCD,故PACD.ACCDPAACA,∵,CD∴平面PAC.而AE平面PAC,CDAE∴.(Ⅱ)证明:由PAABBC,60ABC°,可得ACPA.E∵是PC的中点,AEPC∴.由(1)知,AECD,且PCCDC,所以AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD∴.PA∵底面ABCDPD,在底面ABCD内的射影是AD,ABAD,ABPD∴.又ABAEA∵,综上得PD平面ABE.(3)(课后加):过点A作AMPD,垂足为M,连结EM.则(Ⅱ)知,AE平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则EMPD.ABCDPEM因此AME是二面角APDC的平面角.由已知,得30CAD°.设ACa,可得23212332PAaADaPDaAEa,,,.在ADPRt△中,AMPD∵,AMPDPAAD∴··,则232737213aaPAADAMaPDa··.在AEMRt△中,14sin4AEAMEAM.所以二面角APDC的大小是14arcsin4.18.解:(1)由22nnbS-,令1n,则1122bS,又11Sb,所以123b.21222()bbb,则229b.……………………………………………………………………………………2分当2n时,由22nnbS-,可得nnnnnbSSbb2)(211.即113nnbb-=.…………………………………………………………………………………………………………………………4分所以nb是以123b为首项,31为公比的等比数列,于是nnb312.…………5分(2)数列na为等差数列,公差751()32daa-,可得13nan.………………7分从而nnnnnbac31)13(2.……………………………………………………………………………………8分∴].31)13(31)43(315312[231],31)13(318315312[213232nnnnnnnTnT……………10分∴]31)13(31313313313313[232132nnnnT.…………………11分从而2733127271nnnnT.…………………………………………………………………………14分19.解:(1)设商品降价x元,则多卖的商品数为2kx,若记商品在一个星期的获利为()fx,则依题意有22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx,又由已知条件,2242k·,于是有6k,所以32()61264329072[030]fxxxxx,,.(2)根据(1),我们有2()1825243218(2)(12)fxxxxx.x02,2(212),121230,()fx00()fx极小极大故12x时,()fx达到极大值.因为(0)9072f,(12)11264f,所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大.20.(1)由22lnfxxaxx,得'222afxxxx……………………………………2分若函数为[1,)上单调增函数,则'0fx在[1,)上恒成立,即不等式2220axxx在[1,)上恒成立.也即222axx在[1,)上恒成立.……………………………………………………………………………………………………………………………4分令22()2xxx,上述问题等价于max()ax,而22(
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