人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元测试卷学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，下列各式中正确的是（）A.sin𝐴=sin𝐵B.tan𝐴=tan𝐵C.sin𝐴=cos𝐵D.cos𝐴=cos𝐵2.tan45∘的值是（）A.1B.12C.√22D.√23.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的15，那么锐角𝐴的各个三角函数值（）A.都缩小15B.都不变C.都扩大5倍D.无法确定4.𝛼为锐角，若sin𝛼+cos𝛼=√2，则sin𝛼−cos𝛼的值为（）A.12B.±12C.√22D.05.如图所示，已知𝐴𝐷是等腰△𝐴𝐵𝐶底边上的高，且tan∠𝐵=34，𝐴𝐶上有一点𝐸，满足𝐴𝐸:𝐶𝐸=2:3，则tan∠𝐴𝐷𝐸的值是（）A.35B.89C.45D.796.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格点上，则tan∠𝐴𝐵𝐶的值为（）A.1B.35C.√105D.347.已知：sin232∘+cos2𝛼=1，则锐角𝛼等于（）A.32∘B.58∘C.68∘D.以上结论都不对8.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，sin𝐴=45，则tan𝐵的值为（）A.43B.34C.35D.459.已知∠𝐴是锐角，且sin𝐴=√22，那么∠𝐴等于（）A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘10.3tan60∘的值为（）A.√36B.√3C.3√32D.3√3二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）11.如图，一楼高20𝑚，一只鸽子从地面的𝐴处沿倾斜角为30∘的方向直飞楼顶的𝐵处，则鸽子飞行的路程是________．12.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至𝐴处时，测得小岛𝐶在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达𝐵处，此时测得小岛𝐶在轮船的南偏东60度的方向处．若𝐶𝐵=40海里，则轮船航行的时间为________．13.△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶:∠𝐵:∠𝐴=1:2:3，则三边之比𝑎:𝑏:𝑐=________．14.如图是屋架设计图的一部分，立柱𝐵𝐶垂直于横梁𝐴𝐶，𝐵𝐶=4米，∠𝐴=30∘，则斜梁𝐴𝐵=________米．15.如图，一束光线从𝑦轴上点𝐴(0, 1)出发，经过𝑥轴上点𝐶反射后经过点𝐵(3, 3)，则光线从𝐴点到𝐵点经过的路线长是________．16.市政府决定今年将12000𝑚长的大堤的迎水坡面铺石加固．如图，堤高𝐷𝐹=4𝑚，堤面加宽2𝑚，坡度由原来的1:2改成1:2.5，则完成这一工程需要的石方数为________𝑚3．17.如图，河堤横断面迎水坡𝐴𝐵的坡比是1:√3，则坡角∠𝐴=________∘．18.如图，为了测量某建筑物𝐴𝐵的高度，在地面上的𝐶处测得建筑物顶端𝐴的仰角为30∘，沿𝐶𝐵方向前进30𝑚到达𝐷处，在𝐷处测得建筑物顶端𝐴的仰角为45∘，则建筑物𝐴𝐵的高度等于________𝑚．19.分别求出图中∠𝐴、∠𝐵的正切值：（其中∠𝐶=90∘），由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．20.如图，一渔船由西往东航行，在𝐴点测得海岛𝐶位于北偏东60∘的方向，前进20海里到达𝐵点，此时，测得海岛𝐶位于北偏东30∘的方向，则海岛𝐶到航线𝐴𝐵的距离𝐶𝐷等于________海里．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分，）21.已知：如图，𝐶𝐷是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵上的高，用余弦、正切的定义证明：（1）𝐵𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐵𝐷；（2）𝐶𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷．22.如图，已知∠𝐴𝐵𝐶和射线𝐵𝐷上一点𝑃（点𝑃与点𝐵不重合），且点𝑃到𝐵𝐴、𝐵𝐶的距离为𝑃𝐸、𝑃𝐹．(1)若∠𝐸𝐵𝑃=40∘，∠𝐹𝐵𝑃=20∘，𝑃𝐵=𝑚，试比较𝑃𝐸、𝑃𝐹的大小；(2)若∠𝐸𝐵𝑃=𝛼，∠𝐹𝐵𝑃=𝛽，𝛼，𝛽都是锐角，且𝛼𝛽．试判断𝑃𝐸、𝑃𝐹的大小，并给出证明．23.已知：如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐷=2√3，𝐴𝐶=3．(1)求∠𝐵；(2)求𝑆△𝐴𝐵𝐶．24.如图，在坡角𝛼为30∘的山顶𝐶上有一座电视塔，在山脚𝐴处测得电视塔顶部𝐵的仰角为45∘，斜坡𝐴𝐶的长为400米，求电视塔𝐵𝐶的高．25.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度𝐴𝐵，如图，在𝐶处测得塔尖𝐴的仰角为45∘，再沿𝐶𝐵方向前进31.45𝑚到达𝐷处，测得塔尖𝐴的仰角为60∘，求塔高𝐴𝐵（精确到0.1𝑚，√3≈1.732）26.一架外国侦察机沿𝐸𝐷方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿𝐴𝐶方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在𝐴处与外国侦察机𝐵处的距离为50米，∠𝐶𝐴𝐵为30∘，这时外国侦察机突然转向，以偏左45∘的方向飞行，我机继续沿𝐴𝐶方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在𝐶点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由𝐵到𝐶的速度是多少？（结果保留整数，参考数据√2=1.414，√3=1.723）答案1.C2.A3.B4.D5.B6.D7.A8.B9.B10.D11.40𝑚12.(1+√3)小时13.2:√3:114.815.516.14400017.3018.15(√3+1)19.倒数20.10√321.解：(1)∵𝐶𝐷是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵上的高，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐷𝐵=90∘，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，cos𝐵=𝐵𝐶𝐴𝐵，在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶中，cos𝐵=𝐵𝐷𝐵𝐶，∴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐷𝐵𝐶，即𝐵𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐵𝐷；(2)∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐷𝐵=90∘，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，tan∠𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐷𝐶𝐷，在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶中，tan𝐵=𝐶𝐷𝐵𝐷，∴𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐶𝐷𝐵𝐷，即𝐶𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷．22.解：(1)在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐸中，sin∠𝐸𝐵𝑃=𝑃𝐸𝐵𝑃=sin40∘在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐹中，sin∠𝐹𝐵𝑃=𝑃𝐹𝐵𝑃=sin20∘又sin40∘sin20∘∴𝑃𝐸𝑃𝐹；(2)根据(1)得sin∠𝐸𝐵𝑃=𝑃𝐸𝐵𝑃=sin𝛼，sin∠𝐹𝐵𝑃=𝑃𝐹𝐵𝑃=sin𝛽又∵𝛼𝛽∴sin𝛼sin𝛽∴𝑃𝐸𝑃𝐹．23.解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷=2√3，𝐴𝐶=3，根据勾股定理得：𝐶𝐷=√𝐴𝐷2−𝐴𝐶2=√3，∴𝐶𝐷=12𝐴𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐷=30∘，又𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=30∘，即∠𝐶𝐴𝐵=2∠𝐶𝐴𝐷=60∘，则∠𝐵=90∘−60∘=30∘；(2)∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵=30∘，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=2√3，又𝐶𝐷=√3，∴𝐶𝐵=𝐶𝐷+𝐵𝐷=3√3，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶⋅𝐶𝐵=12×3×3√3=9√32．24.解：在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶=400米，𝛼=30∘，∴𝐶𝐷=200米，𝐴𝐷=𝐴𝐶⋅cos𝛼=400×√32=200√3（米）．又∠𝐵𝐴𝐷=45∘，∠𝐷=90∘，∴∠𝐵=45∘．∴𝐵𝐷=𝐴𝐷=200√3（米）∴𝐵𝐶=𝐵𝐷−𝐶𝐷=200√3−200=200(√3−1)米．∴电视塔𝐵𝐶高200(√3−1)米．25.塔高𝐴𝐵约为74.4米．26.外国侦察机由𝐵到𝐶的速度是208𝑚/𝑠．