第3章-系统的运动与离散化

3.1线性定常系统的自由运动3.2矩阵指数的计算方法3.3线性定常系统的受控运动3.4线性定常离散系统的状态空间描述3.5线性定常离散系统状态方程求解3.6线性连续系统的离散化小结第3章系统的运动与离散化运动分析：定量分析：3.1线性定常系统的自由运动对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究。能控性、能观测性和稳定性。现代控制理论第3章系统的运动与离散化控制系统的分析分为定量分析和定性分析两个方面：对控制系统的规律进行精确的研究。定量的确定控制系统由外部输入作用所引起的响应。线性控制系统的状态方程为，，t≥0BuAXX0)0(XX相对于给定的初始状态和外加输入函数求出状态方程的解，即由初始状态和外加输入引起的响应。0X)(tX)(tu定性分析：运动分解：现代控制理论第3章系统的运动与离散化一、基本定义由初始状态引起的自由运动；由外加输入引起的受控运动。1、自由运动线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程：00)(XtXAXX00)(),(XtXBA0uX2、受控运动线性定常系统在控制作用下的运动称为受控运动。状态方程可表示为非齐次方程：00)(XtXBuAXX现代控制理论00)()(XtttXIttAtt)0()()(00★自由运动：000000000)0()()()()()()(XXXtttXtAXttAXtttX第3章系统的运动与离散化系统的状态方程为，初始条件为，则状态方程的解为AXX00)(XtX其中为矩阵，且满足以下两个条件)(0ttnn则称为系统的状态转移矩阵。)(0tt是的解，已知的条件。00)()(XtttX)()(tAXtX)(0tt证明：现代控制理论第3章系统的运动与离散化2、系统自由运动的状态由状态转移矩阵唯一决定，它包含了系统自由运动的全部信息。1、自由运动的解，它的物理含义是：系统在t≥t0时，任意时刻的状态仅是起始状态的转移，这是为状态转移矩阵的原因。也由此说明自由运动的解可以由状态转移矩阵表达为统一的形式。)(tX00)()(XtttX0X)(0tt3、对于线性定常系统，状态转移矩阵为)(00)(ttAett二、几点讨论现代控制理论第3章系统的运动与离散化三、矩阵指数的定义IttAtt)0()()(00已知状态转移矩阵满足以下两个条件；)(0tt2020100)()()(ttFttFFtt与通常的标量微分方程类似，设的形式为)(0tt式中为待定的矩阵，由方程与初始条件决定。,,,210FFFIttFttFFttI2002001000)()()()0()0(IF0现代控制理论第3章系统的运动与离散化kkAkFAAFFAAFFAFIF!1!3131!2121323212102020120201202010203021)()(])()([])()([)(3)(2ttAFttAFAttFttFIAttFttFFAttFttFF)()(00ttAtt现代控制理论第3章系统的运动与离散化0020200)(!1)(!21)()(kkkttAkttAttAItt所以，002020)()(!1)(!21)(10kkkttattakttattae又因为标量指数定义为所以，定义矩阵指数为。)(00)(ttAett★矩阵指数的性质：1、可逆性)()(001tttt证明：IeeettttttAttA0)()(0000)()(现代控制理论第3章系统的运动与离散化2、分解性)()()(2121tttt证明：)()()(21)(212121tteeettAtAtttA3、传递性)()()(020112tttttt证明：)()()0()()()()()()()(020201120112tttttttttttt说明矩阵指数是非奇异的现代控制理论第3章系统的运动与离散化的性质：AteAntnAtnAtAtAtAtAttAteeeeeIeeIe)()(10性质2.性质1.)(tAAAteee性质3.若矩阵A、B可交换，即，则。BAABBtAttBAeee)(AeeAdtedAtAtAt)(性质4.性质5.若矩阵A为对角阵，即，那么也是对角阵，且。),,,(21ndiagAAte),,,(21tttAtneeediage3.2矩阵指数的计算方法在此我们考虑初始时间t0=0，则Atettt)()(0现代控制理论第3章系统的运动与离散化1、根据矩阵指数的定义求解022!1!21kkkAttAktAAtIe对于线性定常系统而言，其矩阵指数为，求解矩阵指数的方法有四种。)(00)(ttAett2、用拉氏反变换法求解])[(11AsILeAt证明：)()0()(sAXXssXAXX)0()()(XsXAsI)0()()(1XAsIsX])[(11AsILeAt)0()(XetXAt)0(])[()(11XAsILtX现代控制理论第3章系统的运动与离散化根据凯利-哈密尔顿定理：3、将化为A的有限多项式来求解Ate设A是一个方阵，是它的特征多项式，则必有。)(D0)(AD也就是每一个方阵A都满足自己的特征方程。0)(1110nnnaaaD特征方程：0)(1110nnnAAaAaaAD则100022)(!!1!21nmmmkkkkkkAtAtaAkttAktAAtIe1110nnnAaAaIaA即可用A的(n-1)项多项式之和来表示，而等均可表示成A的(n-1)次多项式的形式。所以，nA,,21nnAA现代控制理论第3章系统的运动与离散化(1)A的特征值两两相异，则n,,,21tttnnnnnnnneeetatata211121222211211110111)()()(1110)()()(nnAtAtaAtaItae其中，按A的特征值形式不同，分为以下两种求法。)1,,1,0()(nmtam现代控制理论第3章系统的运动与离散化tttntnnnnneteetnetnnntatatata1111!11)!2(1)!1(11!11210)1(0001000)()()()(211112112110121(2)A的特征值为(n重根)，则1现代控制理论第3章系统的运动与离散化4、通过非奇异变换法求解(1)当A的特征值为两两相异时，则n,,211001PeePettAtn式中P为使A化为对角规范型的变换矩阵。证明：APPAn1100ˆ1ˆ122212112111122]ˆ!21ˆ[ˆ!21ˆˆˆ!21ˆ!21PPePtAtAIPtPAPtPAPPPtPAPPAPtPAPPPtAAtIetAAtttnnnntAneetttttttttAtAIe00!21100!21100!21001001ˆ!21ˆ122221122221122ˆ现代控制理论第3章系统的运动与离散化现代控制理论第3章系统的运动与离散化(2)A的特征值为(n重根)，则1121211111110211121QeteetetnetteeQettttntttAt式中Q为使A化为约当规范型的变换矩阵。现代控制理论第3章系统的运动与离散化例题3.1求时的矩阵指数。(四种方法)3210AAte])[(11AsILeAt解：321)(ssAsI2211221221112112)2)(1(213)()(1ssssssssssssAsIAsIAsIttttttttAteeeeeeeeAsILe2222112222])[(现代控制理论第3章系统的运动与离散化3.3线性定常系统的受控运动受控运动指系统在控制作用下的运动。数学表征为非齐次状态方程。即00)(),(XtXBA)(tu)(tX00)(XtXBuAXX结论：若非齐次状态方程、的解存在，则必具有如下形式：BuAXX00)(XtX当时，00t),0[)()()()(00tdButXttXt当时，00t),[)()()()(0000ttdButXtttXtt现代控制理论第3章系统的运动与离散化)()]([)()]()([)()()()()()(tBuetXedtdtBuetAXtXetButAXtXtButAXtXAtAtAtAt两边取的积分，可得t0duBeXeduBedXedtAtAttAA)()]([)()]([0000tAAtdBueXtXe0)()0()(dButXtdBueXetXtttAAt)()()()()0()(000)(证明：同理可得dButXtttXtt)()()()(000零输入响应零状态响应)()0()2()0()22()2121()0()()0()2(2)0()2()0()22()0()()0()2(102222)0()0(2222)()(22212222120)(2)()(2)(221222120)(2)()(2)()(2)()(2)(21222221tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttteexeexeeeexeexeedeeeexeexeexeexeedeeeeeeeexxeeeeeeeetxtx现代控制理论第3章系统的运动与离散化例题3.2系统状态方程，式中为单位阶跃函数，求状态方程的解。(t≥0)BuXX3210)(1)(ttu解：ttttttttAteeeeeeeeAsILe2222112222])[(