高一数学必修一知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为123{,,,,}naaaa，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()xAPx}，既要关注代表元素x，也要把握其属性()Px，适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母,,,ABC表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集*N或N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4.元素与集合之间的关系是属于（belongto）与不属于（notbelongto），分别用符号、表示，例如3N，2N.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0xxx的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}xRxxx；用列举法表示为{0,1,3}.（2）用描述法表示为：{|27}xZx；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}AxxkkZ，{|61,}BxxmmZ，则有：17A；－5A；17B.解：由3217k，解得5kZ，所以17A；由325k，解得73kZ，所以5A；由6117m，解得3mZ，所以17B.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6练习题2，P13A组题4）（1）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24yx的函数值组成的集合；（3）反比例函数2yx的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26yxxyyx.（2）2{|4}{|4}yyxyy.（3）2{|}{|0}xyxxx.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2xaAax有唯一实数解，试用列举法表示集合A．解：化方程212xax为：2(2)0xxa．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是2：由△=0，得94a，此时的解为12x，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解12x，合．ABBAABABA．B．C．D．⑶方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解为21x，合．综上可知，9{,2,2}4A．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2.如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作AB.3.如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集（propersubset），记作AB（或BA）.4.不含任何元素的集合叫作空集（emptyset），记作，并规定空集是任何集合的子集.5.性质：AA；若AB，BC，则AC；若ABA，则AB；若ABA，则BA.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形}{平行四边形}；{等腰三角形}{等边三角形}.（2）2{|20}xRx；0{0}；{0}；N{0}.解：（1），；（2）=，∈，，.【例2】设集合1,,}22{|,{|nnxnnAxxBxZ}Z，则下列图形能表示A与B关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A，3113{,,,,,}2222B，易知BA，故答案选A．另解：由21,}2{|nxnBxZ，易知BA，故答案选A．【例3】若集合2|60,|10MxxxNxax，且NM，求实数a的值.解：由26023xxx或，因此，2,3M.（i）若0a时，得N，此时，NM；（ii）若0a时，得1{}Na.若NM,满足1123aa或，解得1123aa或.故所求实数a的值为0或12或13.点评：在考察“AB”这一关系时，不要忘记“”，因为A时存在AB.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}.若A=B，求实数x的值.解：若22abaxabaxa+ax2-2ax=0,所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.若22abaxabax2ax2-ax-a=0.因为a≠0，所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0.又x≠1，所以只有12x.经检验，此时A=B成立.综上所述12x.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲§集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（unionset）由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集（intersectionset）对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）记号AB（读作“A并B”）AB（读作“A交B”）UAð（读作“A的补集”）符号图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()UURAxxBxxABAB求ð.解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：{|35}ABxx，(){|1,9}UCABxxx或，【例2】设{|||6}AxZx，1,2,3,3,4,5,6BC，求：（1）()ABC；（2）()AABCð.解：6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A.（1）又3BC，∴()ABC3；（2）又1,2,3,4,5,6BC，得()6,5,4,3,2,1,0ACBC.∴()AACBC6,5,4,3,2,1,0.【例3】已知集合{|24}Axx，{|}Bxxm，且ABA，求实数m的取值范围.解：由ABA，可得AB.在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，4m.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}UxxxN且，{2,4,5,8}A，{1,3,5,8}B，求()UCAB，()UCAB，()()UUCACB，()()UUCACB，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}AB，则(){6,7,9}UCAB.由{5,8}AB，则(){1,2,3,4,6,7,9}UCAB由{1,3,6,7,9}UCA，{2,4,6,7,9}UCB，则()(){6,7,9}UUCACB，()(){1,2,3,4,6,7,9}UUCACB.由计算结果可以知道，()()()UUUCACBCAB，()()()UUUCACBCAB.UA-24mxBA4mxAB-1359x另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn图研究()()()UUUCACBCAB与()()()UUUCACBCAB，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲§集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1.含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()UUUCABCACB,()()()UUUCABCACB.2.集合元素个数公式：()()()()nABnAnBnAB.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合24,21,,9,5,1AaaBaa，若9AB，求实数a的值.解：由于24,21,,9,5,1AaaBaa，且9AB，则有：当219a＝时，解得5a＝，此时={4,9,25}={9,0,4}AB－，－，不合题意，故舍去；当29a＝时，解得33a＝或－.3={4,5,9}={9,2,2}aAB＝时，－，－－，不合题意，故舍去；3={4,79}={9,8,4}aAB＝－，－－，，－，合题意.所以，3a＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}AxxxaaR，{|(4)(1)0}Bxxx，求AB,AB.（教材P14B组题2）解：{1,4}B.当3a时，{3}A，则{1,3,4}AB，AB；当1a时，{1,3}A，则{1,3,4}AB，{1}AB；当4a时，{3,4}A，则{1,3,4}AB，{4}AB；当3a且1a且4a时，{3,}Aa，则{1,3,4,}ABa，AB.点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A={x|240xx}，B={x|222(1)10xaxa，aR}，若AB=B，求实数a的值．解：先化简集合A={4,0}.由AB=B，则BA，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或{4,0}.(i)若B=，则224(1)4(1)0aa，解得a＜1；(ii)若0B，代入得2a1=0a=1或a=1，当a=1时，B=A，符合题意；当a=1时，B={0}A，也符合题意．(iii)若－4B，代入得2870aaa=7或a=1，当a=1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a=1或a≤1．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以