刚体的定轴转动定律教材

刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.刚体可视为特殊的质点系，即任意两质点间距离始终保持不变的特殊质点系。刚体的基本运动形式：平动、转动、平面平行运动.刚体平动质点运动平动：若刚体中所有的点的运动情况都完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线在运动过程中总是保持方向不变.一、刚体的运动：刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且具有相同的角位移、角速度和角加速度，但是，线速度、切向加速度和法向加速度不同。即角量相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体通常要用角量来描述。刚体的平面平行运动.刚体平面平行运动质心的平动绕质心的转动+刚体平面平行运动质心的平动绕质心的转动+x二、刚体定轴转动的角速度和角加速度z参考平面)(t)()(ttt角位移)(t角坐标00约定r沿逆时针方向转动r沿逆时针方向转动tttddlim0角速度矢量方向:右手螺旋方向参考轴角加速度tdd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,,a,v定轴转动的特点刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00zz三、匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavvt0)(2020222100tt当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比四、角量与线量的关系rvrv2nraraananrra2tddtt22ddddarvrvra五、力矩PzOFrdsinFrFdM:力臂dFrM对转轴z的力矩FMzOkFr讨论FFFzFrkMzsinrFMzzFF若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFFPzOFrdM五.定轴转动刚体的转动定律：imFifiFitFinirfitfinfijfjidOijOzimir)(2iiiitrmrF2iiirmIIMiFIM对比amFIM转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小，则刚体的转动惯性小。转动惯量一般与两个因素有关：（1）转动轴的位置；（2）转动刚体的质量；2iiirmI转动惯量imir1r1m2m2r3m4m3r4r5m5r质量离散分布系统的转动惯量2222112rmrmrmIiiidmr质量连续分布刚体的转动惯量mrId2：质量元md计算转动惯量:maammammmmmxyaaaa22a222a322222)322()222()22(amamamI例题求质量为m、长为Ｌ的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。ＸxdxＸxdxxdxhCＸ2mdIICO平行轴定理质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CImddCOm注意xyzxIyIIyxVVIIdmyxdmrI)(222rxyxym0lldlsinlxym0l3/0l3/0l3/0l例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的转轴的转动惯量。设圆环的半径为R，质量m均匀分布在圆环上。RmdRdOROR403π2dπ2RrrIRrdr例一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πRm而rrmdπ2d圆环质量221mRI所以rrmrIdπ2dd32圆环对轴的转动惯量例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定轴转动的转动惯量。ZxdzzR22zR例有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B，A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀，它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量分别为IA和IB，则：【】（A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量；（B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量；（C）两个圆环的转动惯量相等；（D）无法判断。竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？刚体定轴转动的转动定律的应用例、如图所示，一个质量为M，半径为R的圆盘形定滑轮，上面绕有细绳，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一个质量为m的物体而下垂，忽略轴处的摩擦，绳子与滑轮间无相对滑动，求物体m下落的加速度。a例题、一根长为l、质量为m的均匀直棒，其一端固定在光滑水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。mgcos21l例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。m1m2T2T1T1T2m2gm1gaaam1m2例题一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mf。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。m1m2T2T1T1T2m2gm1gaaam1m2解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1’(T1’=T1)，物体2这边的张力为T2、T2’(T2’=T2)因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程JMrTrTamTGamGT12222111式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得rammmrMgmmrJmmrMgmmar21//121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212＋－mmmrMgmmmagmT21/212122111而rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。例、在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各悬挂质量分别为m1、m2的物体，若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮的转动惯量为J，求滑轮的角加速度和各绳中的张力T1和T2m1m2R1R22mm课堂练习：两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上，小滑轮的质量为m，半径为r，大滑轮的质量为2m，半径为2r，一根不可伸长的细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别悬挂着物体A和B，A的质量为m，B的质量为2m，这一系统由静止开始转动，忽略滑轮轴的摩擦，绳子与滑轮间无相对滑动，求两滑轮的角加速度和它们之间的绳的张力。2rr例质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从BmCm再求加速度及绳的张力.静止落下距离时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律fM结合（1）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRaJMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa例、如图所示，圆盘形滑轮的质量为M，半径为R，通过滑轮连接的两个物体质量分别为m1和m2(m1m2)，若斜面是光滑的，倾角为，绳与滑轮间无相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，求（1）绳子中的张力；（2）m1、m2的加速度。m1m2例一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFJmglsin21式中231mlJddddddddtt得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21例：一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初始为角速度为ω0，它所受阻力矩与转动角速度的平方成正比，即M＝－kω2（k为正的常数），求：（1）圆盘开始转动时的角加速度。（2）圆盘的角速度从ω0变为1/3ω0时所需的时间。例、风扇在开启电源后，经过时间t1达到了额定转动角速度0，若此时关闭电源，则再经过时间t2后风扇就停止了转动，已知风扇转子的转动惯量为I，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁动力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁动力矩。例、如图所示，飞轮的质量为M＝60kg，半径为R=0.25m，当其转速为1000r/min时，要在5秒内令其制动，求制动力。设闸瓦与飞轮间的摩擦系数为＝0.4，飞轮的转动惯量按匀质圆盘计算，尺寸如图所示。F0.5m0.75mF0.5m0.75mOBARNf例、一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？R解由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，