长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗？

长方形的椅子能在不平的地面上站稳吗？一、问题提出椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳,然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。以下用数学语言证明。二、问题分析该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来证明，经过分析，我们可以一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅子同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。三、模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，做出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的．四、模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来.首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来.我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A，B两脚与地面竖直距离是之和为f（θ），C、D两脚与地面的竖直距离之和为g（θ），其中θϵ[0，π],从而将原问题转化成数学问题，数学模型：已知f（θ）和g（θ）是非负的连续函数，对于任意的θ，有f（θ）·g（θ）=0.证明存在某个θ0ϵ[0，π]，使得f（θ0）=g（θ0）=0成立.五、模型求解如果f（0）=g（0）=0，那么结论成立。如果f（0）=g（0）不同时为零；不妨设f（0）0,g（0）=0.这时，将长方形ABCD绕O点逆时针旋转180度，点A,B分别与C,D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知f（π）=g（0），g（π）=f（0）.而由f（0）0，g（0）=0.得g（π）0，f（π）=0.令h（θ）=f（θ）-g（θ），由f（θ）和g（θ）的连续性知h（θ）也是连续函数又h（0）=f（0）-g（0）0,h（π）=f（π）-g（π）0，根据连续函数介值定理，必存在θ0ϵ(0，π)使得h（θ0）=0，即f（θ0）=g（θ0）；又因为有f（θ0）·g（θ0）=0，所以f（θ0）=g（θ0）=0.于是长方形的椅子在不平的地面上站稳了.闫海超王倩唐倩