1方程组解法讲义

第1页共10页8—1二（三）元一次方程组的解法主要内容：8.1二元一次方程组（1）；8.2消元---解二元一次方程组（4）；*8.3三元一次方程组的解法（2）。参考资料：《教材知识详解（七下）》；《疑难与规律详解（方程与不等式）》第一部分解读二元一次方程组理解四个概念1、二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的方程。特征：（1）是整式方程；（2）有且只有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数均为1.例1：分辨下列哪些是二元一次方程？①2y3x21；②2x+3y-z=7；③xy+6=1；④2x2+y=-6；⑤6a2b3a⑥2x+5=4；⑦3m+2n=5；⑧4x-3y例2：3x+y-（2a-3）xy=40，当a=时，为二元一次方程。练习1：若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．2、二元一次方程的解（1）定义：适合二元一次方程的一对未知数的值，叫二元一次方程的一个解。一般用大括号（）表示。如2y1x是x+y=3的一个解。一般情况：一个二元一次方程有无数个解。（不定方程）特殊解：如整数解。例：2x+y=5的解有无数个，但正整数解只有两个，为1y2x，3y1x非负整数解有三个，为5y0x，1y2x，3y1x。（2）解法：A）先用一个未知数的代数式表示另一个未知数；B）给出一个未知数的值，在求出另一未知数的值。如：2y1xx21y1yx2从而确定解，如：221y2xy1xy5.1xy2x1y1x（3）例题：例3：以下各对数中为二元一次方程组3x+4y-2=0的解的是（）。1y2xA1y1xB21y0xC25.0y5.0xD例4：写出一个方程，使为它的一个解，该二元一次方程可以为。例5:1y1x为方程2x-3=ay的一个解，则a=（）。A.1；B.3；C.-2；D.-1.第2页共10页练习2：写出二元一次方程351xy的一个正整数解_____________．练习3：已知2,3xy是方程x－ky=1的解，那么k=_______．3、二元一次方程组（1）定义：含有两个未知数的一次方程所组成的一组方程。（2）特征：A两个特点：①都是一次方程；②含有两个未知数。B相同未知数在各个方程中所表示的意义相同。C一共有两个未知数，而不是每个方程必须含有两个未知数。例6：下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．228423119...23754624xyxyabxBCDxybcyxxy4、二元一次方程组的解定义：二元一次方程组中各个方程的公共解。（使每个方程左右两边的值相等）一般情况：只有唯一一个解；还有无数个解和无解情况。例7：（判断是否为二元一次方程组的解）方程组4-y2x7y-x2的解为（）。A、2y3xB、5y1xC、2y0xD、3y2x例8：（构造二元一次方程组）。请写出一个二元一次方程组，使它的解为1y2x。-----------。例9：（由二元一方程组的解确定字母的值）1y3x为n4y-x2my2x的解，则m=，n=。例10：（二元一次方程的特殊解）求方程3x+4y=-20的非正整数解。练习:4：25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______。若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；练习5、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________；练习6：已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=___:__；用含y的代数式表示x为：x=_____。练习7．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）A．3333...2422xxxxBCDyyyy第二部分解二元一次方程组的两种基本方法基本思路（思想）：消元。基本方法：代入消元法、加减消元法。一、代入消元法：五个步骤：⑴变形：选定一个系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，⑵代入：将变形的方程代入另一个方程。⑶解元：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。⑷求值：将求得的未知数值代入变形式，求另一个未知数的值。⑸联立：写出方程组的解。第3页共10页具体例题分析：例1：10y2x47yx3二、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相等、相反（或成倍数）关系时，讲两个方程相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程。五个步骤：⑴变形；⑵加减；⑶解元；⑷求值；⑸联立。具体例题分析：例210y4x572yx3三、方法技巧1、同一未知数的系数相等、相反、倍数关系时，用加减法简便合适；2、比较复杂的方程组，要先整理，变形（去分母、去括号、移项、合并同类项），再确定方法。3、易错处：漏乘、去括号不变号、移项不变号等。四、练习1．解方程组34152410xyxy较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______．2．已知方程组234321xyxy，用加减法消x的方法是_______；用加减法消y的方法是_______．3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．(1)32155423xyxy消元方法___________．(2)731232mnnm消元方法_____________．4、解方程组：（1）用代入法求解：10y2x32yx2（2）用加减法求解：13yx2113y-x45．方程组241xyxy的解_________．6．方程2353xyx=3的解是_________．7、（2011呼和浩特中考）：23y2x2y131yx4第三部分二元一次方程的特殊解法技巧一、整体法。例1、解方程组：6y5yx5y3yx2分析：把x+y看做一个整体，由（2）得x+y=6+5y，再代入（1），可求y，再求x即可，二、换元法。例2、6323()2()28xyxyxyxy例3、14y1x27y2x3分析：1、设x+y=a，x-y=b，则原方程组化为a/3+b/2=6，和3a-2b=28，可求出a、b的值，再代回求x、y。2、此为分式方程组，可换元求解。略。①②第4页共10页三、参数法例4、1034y25x120y16x13例5、1y29x833y17x31例6、11y31x319y3x31分析：最小公倍数较大，用加减和代入计算都比较繁琐。另方程（1）常数项为0，可由（1）得13y16x，设k13y16x，则x=16k，y=13k，代入（2）可求出k=2，继而求出x=32，y=26.四、加减不消元（消常数项法）见例5。分析：观察其系数，用加减和代入均不容易，但常数项较简单，且有倍数关系。则（1）+（2）×3，得280x-70y=0，化简得y=4x，（此处如较复杂再用参数法）代入（1）可求出x值，再代入y=4x求y值。五、系数对称型见例6。分析：观察x的系数和y的系数相同，呈对称型，则（1）+（2）并整理得x+y=9，（1）－（2）并整理得x－y=－3.继而求出x、y的值。练习：1、若方程组30.95b3a13b3a2的解为2.1b3.8a，则方程组30.91-y52x3131y32x2的解为（）。A、2.2y3.6x；B、2.1y3.8x；C、2.2y3.10x；D、2.0y3.10x。2、1251342yxyyx3、1213222132yxyx4、192y96x78156y78x96第四部分构造二元一次方程组解题一、利用二元一次方程的定义构造例1、方程7y5x31-2b-a1ba2是关于x、y的二元一次方程，则a=，b=。分析：把表示指数的代数式看做一个整体，利用二元一次方程的定义，构造方程组解题。二、利用同类项的定义构造例2：已知5n2m1nm3yx3和yx81n是同类项，则m=，n=，（n-m）2013=。分析：把表示指数的代数式看做一个整体，利用同类项的定义，构造方程组解题。三、利用相反数的性质构造例3:已知3a的相反数是6-5b，-4a的相反数是6b-4，求a，b，22ba的值。分析：利用相反数的性质：和为0，构造方程组解题。第5页共10页四、利用非负数的性质构造例4：已知01ba392ba，求a，b的值。分析：利用非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0。构造方程组解题。五、利用关系式（新定义）构造例5：已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文是a-2b，2a+b。例如，明文1,2对应的密文是－3,4，当接收方收到密文是1,7时，解密得到的明文是（）。A。-1,1；B。1,3；C。3,1；D。1,1。分析：（分析信息，阅读理解型题）根据规则可列方程组a-2b=1，2a+b=7，可求a，b值。例6：对于x，y定义一种新运算“*”：x*y=ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算。已知3*5=15,4*7=28，求1*1的值。分析：（定义新运算型的阅读理解题，首先要读懂新运算的含义）利用新运算规则可列方程组3a+5b=15,4a+7b=28.可求出a，b的值，再利用规则求1*1的值。练习：1.若532yxab与2244xyab是同类项，则___,___.xy2、已知(3x+2y－5)2与│5x+3y－8│互为相反数，则x=______，y=________．3、若02y2x25yx3，则2x2-3xy的值是（）（A）14（B）-4（C）-12（D）124．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．5、已知加密规则为，明文x，y，z对应密文2x+3y，3x+4y，3z。例如明文1,2,3对应密文8,11,9.当接收方收到密文12,17,27时，则解密得到的明文为（）。第五部分确定方程（组）中字母的值一、利用方程解的定义确定例1：x=1，y=2是关于x，y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a=（）。分析：利用方程解的定义，代入即可求出。二、利用方程组的解的定义确定例2、已知1y2x是二元一次方程组1by-ax7byax的解，则a-b的值为（）。分析：利用方程组解的定义，讲解代入方程组各个方程，构造新方程组可求a，b的值，进而求解。三、根据方程组解的情况确定例3：若方程组3y1-kkx73y4x的解x、y相等，则k值为（）。分析：将解的情况：x=y与方程（1）建立方程组，可求出x，y的值，再代入（2）即可求出k。总结：此类题实质是利用解的情况建立一个新方程再求解。四、根据方程（组）同解确定例4：关于x、y的方程组1myx3myx2的解也是方程2x+y=3的解，求m的值。分析：方法（1）：把m看做常数，通过①+②解得x=（2m+1）/5③，再代入②，y=（2-m）/5④，将③④代入方程2x+y=3，则可求m的值。方法（2）：消去m。②-①可得x+2y=1③，③和2x+y=3建立方程组可求x，y的值，再代入①即可。第6页共10页例5：关于x，y的方程组202b-y2x107-4yx与