第四章非弹性碰撞过程及电子阻止本领

第四章非弹性碰撞过程及电子阻止本领在前面几章我们采用经典的二体碰撞动力学研究了载能粒子在固体中的碰撞过程及核阻止本领的计算，计算过程相对地较为简单。但对于电子阻止本领的计算，由于涉及到入射粒子同靶原子核外电子的多体相互作用过程，计算过程要复杂的多。自本世纪三十年代量子力学诞生以来，入射粒子在固体中的电子阻止本领一直是一个较活跃的研究领域。特别是近30年以来，随着实验测试手段的不断提高，人们可以较精确地测量电子阻止本领的值，这又进一步地促进了人们对电子阻止本领的理论研究。一般地，研究电子阻止本领的主要理论方法有：量子力学扰动理论、线性介电响应理论、量子散射理论、半唯象理论及经验理论（公式）。本章将分别对上述理论给以简单介绍。4.1高速离子的电子阻止本领量子力学扰动理论描述（一）非弹性散射截面考虑由一个入射粒子和一个靶原子组成的系统。在0t时刻，入射粒子同靶原子之间不发生相互作用，系统处于未扰动状态。这时系统的哈密顿量为apHHHˆˆˆ0，其中pHˆ和aHˆ分别为入射粒子的哈密顿量和孤立靶原子的哈密顿量。与0ˆH相对应的系统的本征函数为nu，本征值为nE。当在0t时，入射粒子与靶原子开始相互作用，设系统的波函数为)(t，满足如下薛定谔方程)()ˆˆ()(0tVHtti（4.1-1）其中Vˆ是它们之间的相互作用势。将)(t按0ˆH的本征函数nu展开：]/)(exp[)()(00ttiEutatnnnn（4.1-2）其中)(tan为展开系数。将（4.1-2）式代入方程（4.1-1），并利用波函数nu的正交性，可以得到关于展开系数)(tan的方程)](exp[)()(00ttitaVdttdaimnmmmnn(4.1-3)其中/)(nmmnEE为系统从本征态nu跃迁到本征态mu的频率，mnnmuVudVˆ*(4.1-4)则为跃迁矩阵元，其中d表示空间体积元。再根据波函数)(t的归一性，很容易得到展开系数)(tan所满足的归一化条件1)(20tann(4.1-5）对于高速入射粒子，相互作用势Vˆ相对0ˆH是个小量，这样可以采用微扰理论来求解方程(4.1-3)。在方程(4.1-3)右边求和中仅保留0nm这一项，并利用10na，可以得到)(000)(ttinnnnneVdttdai(4.1-6)一般地相互作用势Vˆ与时间无关，这样根据上式很容易得到)(tan的表示式，由此可以得到系统从初始状态0|n跃迁到n|的几率为0000)](sin[2|)(|0222nnnnnnnnnttVdttadW(4.1-7）当)(0tt时，则跃迁几率趋于与一个稳态的值)(200022nnnnnnVW(4.1-8）式中)(0nn函数要求系统在跃迁前后能量守恒，即0nnEE。体系的本征波函数nun|可以写成原子的本征波函数)(Xn和入射粒子（可以视为自由粒子）的本征波函数2/3)2/(Rkie的乘积kneXuRkinn|)2(1)()2(12/32/3(4.1-9）其中k和R分别是入射粒子的波矢和位矢，),,{221ZxxxX表示靶原子中2Z个电子位置矢量的集合。同样，系统的本征能量nE可以写成入射粒子的动能)2(122mk和靶原子的本征能量n之和。这样入射粒子同靶原子碰撞前后的能量守恒方程为nnmkmk1221202220(4.1-10）由于入射粒子的能量)2(122mk是连续变化的，所以系统的能量nE也是连续变化的，由此可以得到12/mkdkdEn。下面我们确定原子仍保持在固定的状态)(Xn上，而入射粒子散射进以k为中心的立体角dddsin内的几率。将方程(4.1-8）两边同乘以21/ddEkmkdn，并完成对ndE的积分，则可以得到在单位时间内散射到空间立体角d的几率为22002nnnnVvddW(4.1-11）其中1/mkv是入射粒子散射后的速度。将上式除以入射粒子的通量22/300)2/(0RkievJ，则最后得到在一阶Born近似下非弹性微分散射截面为200042210|ˆ|)2(1),(0knVnkvvmddWJnn(4.1-12）其中100/mkv是入射粒子散射前的速度。（二）Bethe-Bloch公式在高能情况下，入射粒子同靶原子碰撞时，其能量损失主要用于激发或电离靶原子核外的电子。当一个原子从初始状态0n|跃迁到终态n|时，其能量变化为0nnn。那么入射粒子在固体中穿过单位长度内，由于非弹性碰撞而损失的能量（即电子阻止本领）为00))(,(nnnnedNdxdE(4.1-13）其中N是固体的原子密度，微分散射截面),(由(4.1-12）式给出。下面的问题是如何计算出现在微分散射截面),(中的跃迁矩阵元200knVnk|ˆ|。首先我们确定相互作用势Vˆ的形式。在高速情况下，可以近似地认为入射粒子是一个裸离子，它与靶原子的相互作用可以用裸库仑势来表示。如果把坐标原点固定在靶原子核上，则相互作用势为2121221),(ˆZiirReZReZZXRV(4.1-14）上式右边第一项为入射粒子同靶原子核的相互作用，而第二项是与核外电子的相互作用。引入波矢kkq0及利用(4.1-4)式和(4.1-9）式，则矩阵元00|ˆ|knVnk可以表示成121221100||)()(|ˆ|02jjRqinnZrReZReZZeXXRdrdrdknVnk(4-15）根据波函数)(Xn的正交性，容易看出上式第一项的积分结果为零。对上式中的第二项进行分部积分，并利用函数的性质)(4||12iiRrRrR，最后矩阵元可以表示为0122100||4|ˆ|2nenqeZknVnkZjrqij(4.1-16）将其代入(4.1-15）式，则电子阻止本领可以表示成20142104421||||)(4200nenqvdNmveZdxdEjrqiZjnnnne(4.1-17）在上式中，波矢q与极角不是独立的。由图4.1可以得到如下关系cos202022kkkkq(4.1-18）kq0k图4.1波矢kkq0的示意图对于固定的k值，有dkkqdqsin0和)vv/(2sin20212mqdqdd。这样方程(4.1-17）可以写成2013202421||||)(8200maxminnenqdqNveZdxdEjrqiZjnnnnqqe(4.1-19）下面确定方程(4.1-19）中的积分上下限。由(4.1-18）式可以看出，有kkq0max和kkq0min。假设入射粒子在同靶原子碰撞前后其动量变化较小，即0kq，并利用能量守恒公式(4.1-10），则积分下限为022000220min0)(21vkkkkkkkqnn(4.1-20）将kkq0max代入(4.1-10）式，并考虑到0maxkq的限制，可以得到21200max2nmkkq(4.1-21）其中)(0nnn。下面进一步地考察当入射粒子的动量变化最大时)(maxqq，靶原子的能量变化n是多少。利用多电子体系的波函数的Hartree表述)()()(|222211ZZrrrn，方程(4.1-19）中的矩阵元可以写成)()()()()()(||222222)0(*1)0(*1)0(11*1101ZZZZrqiZjjjjjjZjrqirrrderrrdrrrdnenjj(4.1-22）根据波函数的正交性可知，要想使上式的积分结果不为零，必须要求2Z个电子中只能有一个电子的终态与初态不相同。现假设这个电子为第j个电子，则(4.1-22）式右边求和中只剩下一项，即jjrqijjjjjZjrqierrrdnen)()(||)0(*012(4.1-23）这个积分值取决于jrqie在积分区域（原子体积）内的振荡行为。设原子的线度为a，如果aq/1，则jrqie在原子尺度内振荡较为剧烈。在在种情况下，除非该电子的终态)(jjr能把这种振荡抵消掉，否则积分结果分零。也就是说，为了使积分不为零，要求电子的终态波函数为jrqijjer2/3)2(1)(。这是一个自由电子的波函数。由此可见，在aq/1的情况下，入射粒子传给靶原子的动量q全部交给了一个电子，并使这个电子成为一个自由电子，其它电子的状态没有变化。实际上，这种过程对应于入射粒子电子的弹性碰撞过程。由第三章的讨论可知，一个电子同一个入射粒子进行弹性碰撞时，电子得到的能量为2sin)(4202110ceennEmmmm(4.1-24）其中em是电子的质量。对于对头碰撞（0c），电子得到的能量最大，即010211max4)(4)(0EmmEmmmmeeenn(4.1-25）将其代入(4.1-21）式，最后可以得到积分上限的值为/2]/411[010maxvmmmkqee(4.1-26）下面我们完成方程(4.1-19）右边的积分。为了讨论方便，我们用g表示方程(4.1-19）右边的积分部分2013||||)(200maxminnenqdqgjrqiZjnnnnqq(4.1-27）我们可以将上面积分中的积分区域划分成两部分，即]/1,[minaq和],/1[maxqa。由前面的讨论可知，在aq/1的区域，这时原子中2Z个电子中只有一个电子的状态发生了变化，该电子得到的能量为enmq222。因此有01,)(0/12201/12/1||2||||22max02maxnenqdqmnenqdqmgZjirrqiqaennZirqiqaeaqjii(4.1-28）由于当aq/1时，仅当jirr时，上式的积分才不为零，所以有max/102222/12ln22qaeeeaqavmmZqdqmZg(4.1-29）对于aq/1的情况，有1||irq，因此可以将irqie进行泰勒展开，即irqirqiei1。这样可以得到2010201/13/1||||)(ln31||||)(200020min0nrnavnrqinqdqgZiinnnnnnZiinnaqnnaq(4.1-30）引入偶极振子强度20122||||)(321200nrnmZfZiinnenn(4.1-31）及靶原子中电子的平均激发能I)ln(ln000nnnnnnfI(4.1-32）则(4.1-30）式可以写成为aIvmZgeaq2022/1ln2(4.1-33）其中利用了偶极振子强度的求和规则001nnnnf。把aqg/1和aqg/1结合起来并代入方程(4.1-27），最后得到高速带电粒子在固体中的电子阻止本领为IvmNZmveZdxdEee202204212ln4(4.1-34）这就是著名的Bethe-Bloch。方程(4.1-34）是在一阶Born近似下得到的，因此电子阻止本领正比于入射粒子电荷数1Z的平方。也就是说，无论对于正