二轮复习----离心率的求解技巧----课件(16张)(全国通用)

高考微专题七离心率的求解技巧圆锥曲线的离心率是一个重要的基本量,在圆锥曲线中有着极其特殊的作用,也是高考的高频考点.通常有两类:一是求离心率的大小;二是求离心率的取值范围.下面介绍一些求解技巧.技巧一求出a,c后求离心率的值【例1】已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()(A)512(B)212(C)2+1(D)5-1解析:根据抛物线方程,得A(0,-1),B(0,1),设P(x,y),则m=PAPB=222211xyxy=224141yyyy=226121yyyy=24121yyy=4112yy≤4122=2,等号当且仅当y=1时取得,此时x2=4,x=±2,根据对称性取点P(2,1),根据双曲线定义|PA|-|PB|=2a,即22-2=2a,所以a=2-1,又c=1,所以e=ca=121=2+1.故选C.方法点睛在能够直接求出椭圆、双曲线中的a,c值时,直接求出再根据离心率的定义求得离心率,这是求椭圆、双曲线离心率最直接的方法.解析:双曲线渐近线方程为y=±bax,与直线y=-(x-a)联立.由-bax=-x+a,得x=2aab;由bax=-x+a,得x=2aab,根据题意,若2aab·a=(2aab)2,得技巧二求出a,c之间的等量关系后求离心率的值【例2】过双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为()(A)3(B)5(C)10(D)13a(a-b)=(a+b)2,此式不可能;若2aab·a=(2aab)2,则a(a+b)=(a-b)2,解得b=3a.双曲线的离心率e=21ba=10.故选C.方法点睛当能够把已知条件转化为关于a,c的齐次方程时,通过把方程两端除以a的某个方幂(齐次方程的次数)即可得出关于e的方程,解方程得出离心率,但要注意离心率本身的范围.技巧三建立关于a,c的不等关系确定离心率的范围【例3】已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P为双曲线上任一点,且1PF·2PF最小值的取值范围是[-34c2,-12c2],则该双曲线的离心率的取值范围为()(A)(1,2](B)[2,2](C)(1,2](D)[2,+∞)解析:设P(x0,y0),则1PF·2PF=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=20x-c2+20y=a2(1+202yb)-c2+20y=2202cyb+a2-c2,上式当y0=0时取得最小值a2-c2,根据已知-34c2≤a2-c2≤-12c2,即12c≤a≤22c,即2≤ca≤2,所以所求离心率的取值范围是[2,2].故选B.方法点睛如果建立的关于a,c的不等式中各项的次数相同,即可以把其化为关于离心率e的不等式,解不等式得出离心率的范围,要注意椭圆、双曲线离心率本身的范围.技巧四用圆锥曲线定义解离心率问题【例4】已知P是双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)上的一点,F1,F2分别是左、右焦点,PF1与渐近线平行,∠F1PF2=90°,则双曲线的离心率为()(A)2(B)3(C)2(D)5解析:设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,由双曲线的渐近线方程可知tanα=ba,所以在Rt△PF1F2中,|PF1|=2a,|PF2|=2b,则2b-2a=2a,所以2a=b,所以e=5,故选D.方法点睛圆锥曲线的离心率与定义之间关系密切,解题时要善于把圆锥曲线上的点与两个焦点联系起来,利用圆锥曲线定义确定a,c之间的数量关系.解析:根据已知条件∠PF1F2,∠PF2F1都不能等于0,即点P不会是椭圆的左、右顶点,故P,F1,F2构成三角形,在△PF1F2中,由正弦定理得212sinPFPFF=121sinPFPFF,则由已知,得2aPF=1cPF,即|PF1|=ca|PF2|,①技巧五在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题【例5】已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使12sinaPFF=21sincPFF,则该椭圆的离心率的取值范围为.根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a.②由①②解得,|PF2|=21aca=22aac,因为a-c|PF2|a+c,所以a-c22aaca+c,即b22a2a2+2ac+c2,所以c2+2ac-a20,即e2+2e-10,解得e-2-1或e2-1,又e∈(0,1),故椭圆的离心率e∈(2-1,1).答案:(2-1,1)【例6】设F1,F2分别是椭圆E:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8,故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.