泸州市2017-2018学年高一下学期期末统一考试数学试题(含答案)

2017-2018学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集𝑈=𝑅，𝐴={𝑥|𝑥≤0}，𝐵={𝑥|𝑥≥1}，则集合∁𝑈(𝐴∪𝐵)=()A.{𝑥|𝑥≥0}B.{𝑥|𝑥≤1}C.{𝑥|0≤𝑥≤1}D.{𝑥|0𝑥1}【答案】D【解析】解：𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥≥1或𝑥≤0}，∴𝐶𝑈(𝐴∪𝐵)={𝑥|0𝑥1}，故选：D．先求𝐴∪𝐵，再根据补集的定义求𝐶𝑈(𝐴∪𝐵)．本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2.化简式子cos72∘cos12∘+sin72∘sin12∘的值是()A.12B.√32C.√33D.√3【答案】A【解析】解：cos72∘cos12∘+sin72∘sin12∘=cos(72∘−12∘)=cos60∘=12．故选：A．由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．3.下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是()A.𝑓(𝑥)=ln𝑥B.𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2C.𝑓(𝑥)=2−𝑥D.𝑓(𝑥)=𝑥3【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，𝑓(𝑥)=ln𝑥，为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意；对于B，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2，为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意；对于C，𝑓(𝑥)=2−𝑥=(12)𝑥，为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于D，𝑦=𝑥3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．4.已知𝑚⃗⃗⃗=(2,4)，𝑛⃗⃗=(6,𝑘)，且|𝑚⃗⃗⃗+𝑛⃗⃗|=|𝑚⃗⃗⃗|+|𝑛⃗⃗|，则k的值为()A.3B.12C.−3D.−12【答案】B【解析】解：由|𝑚⃗⃗⃗+𝑛⃗⃗|=|𝑚⃗⃗⃗|+|𝑛⃗⃗|，得𝑚⃗⃗⃗与𝑛⃗⃗同向共线，∴存在正数𝜆，使得𝑚⃗⃗⃗=𝜆𝑛⃗⃗，即(2,4)=𝜆(6,𝑘)，解得𝑘=12．故选：B．由|𝑚⃗⃗⃗+𝑛⃗⃗|=|𝑚⃗⃗⃗|+|𝑛⃗⃗|，得𝑚⃗⃗⃗与𝑛⃗⃗同向共线，再用坐标运算可求得．本题考查了平行四边形法则和向量共线定理，属基础题．5.下列函数中，最小正周期为𝜋的奇函数是()A.𝑦=cos2𝑥B.𝑦=sin2𝑥C.𝑦=sin2𝑥+cos2𝑥D.𝑦=tan2𝑥【答案】B【解析】解：𝑦=cos2𝑥是偶函数，不正确；𝑦=sin2𝑥是奇函数，函数的周期为𝜋，正确；𝑦=sin2𝑥+cos2𝑥是非奇非偶函数，不正确；𝑦=tan2𝑥是奇函数，周期为𝜋2，不正确；故选：B．判断函数的奇偶性以及求出函数的周期判断选项即可．本题考查三角函数的奇偶性以及函数的周期的求法，考查计算能力．6.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1)，点𝐶(−1,0)，𝐷(4,5)，则向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗在𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影为()A.3√22B.−3√5C.−3√55D.3√5【答案】A【解析】解：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1)，点𝐶(−1,0)，𝐷(4,5)，可得𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(5,5)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2×5+1×5=15，|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=5√2，可得向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗在𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影为：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=155√2=3√22．故选：A．运用向量的加减运算可得𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(5,5)，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗在𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|，即可得到所求值．本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．7.等比数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，且𝑎5𝑎6+𝑎4𝑎7=18，则log3𝑎1+log3𝑎2+⋯+log3𝑎10=()A.12B.8C.10D.2+log35【答案】C【解析】解：根据题意，等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎5𝑎6+𝑎4𝑎7=18，则有𝑎4𝑎7+𝑎4𝑎7=18，则𝑎4𝑎7=9，∴log3𝑎1+log3𝑎2+⋯+log3𝑎10=log3𝑎1𝑎10+log3𝑎2𝑎9+log3𝑎3𝑎8+log3𝑎4𝑎7+log3𝑎5𝑎6=5log3𝑎4𝑎7=5log39=10，故选：C．根据题意，由等比数列的性质，分析可得𝑎4𝑎7=9，对数性质可知log3𝑎1+log3𝑎2+⋯+log3𝑎10=5log3𝑎4𝑎7，进而计算可得结论．本题考查等比数列的性质，注意数列中所给各项的下标的关系．8.已知l，m，n为三条不同直线，𝛼，𝛽，𝛾为三个不同平面，则下列判断正确的是()A.若𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，则𝑚//𝑛B.若𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，𝛼⊥𝛽，则𝑚⊥𝑛C.若𝛼∩𝛽=𝑙，𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝑚//𝑙D.若𝛼∩𝛽=𝑚，𝛼∩𝛾=𝑛，𝑙⊥𝑚，𝑙⊥𝑛，则𝑙⊥𝛼【答案】C【解析】解：(𝐴)若𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；(𝐵)在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′中，设平面ABCD为平面𝛼，平面𝐶𝐷𝐷′𝐶′为平面𝛽，直线𝐵𝐵′为直线m，直线𝐴′𝐵为直线n，则𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，𝛼⊥𝛽，但直线𝐴′𝐵与𝐵𝐵′不垂直，故B错误．(𝐶)设过m的平面𝛾与𝛼交于a，过m的平面𝜃与𝛽交于b，∵𝑚//𝛼，𝑚⊂𝛾，𝛼∩𝛾=𝑎，∴𝑚//𝑎，同理可得：𝑚//𝑏．∴𝑎//𝑏，∵𝑏⊂𝛽，𝑎⊄𝛽，∴𝑎//𝛽，∵𝛼∩𝛽=𝑙，𝑎⊂𝛼，∴𝑎//𝑙，∴𝑙//𝑚．故C正确．(𝐷)在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′中，设平面ABCD为平面𝛼，平面𝐴𝐵𝐵′𝐴′为平面𝛽，平面𝐶𝐷𝐷′𝐶′为平面𝛾，则𝛼∩𝛽=𝐴𝐵，𝛼∩𝛾=𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，但𝐵𝐶⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．9.已知sin(𝛼−𝜋6)=13，则sin(2𝛼+𝜋6)=()A.79B.−79C.29D.−29【答案】A【解析】解：已知sin(𝛼−𝜋6)=13，则sin(2𝛼+𝜋6)=cos[𝜋2−(2𝛼+𝜋6)]=cos(𝜋3−2𝛼)=cos(2𝛼−𝜋3)=1−2sin2(𝛼−𝜋6)=1−2×19=79，故选：A．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得sin(2𝛼+𝜋6)的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：𝑐𝑚)，可得这个几何体得体积是()𝑐𝑚2．A.43B.83C.2D.4【答案】B【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积𝑆=2×2=4，高ℎ=2，故几何体的体积𝑉=13𝑆ℎ=83，故选：B．由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11.等边△𝐴𝐵𝐶的边长为4，点P是△𝐴𝐵𝐶内(包括边界)的一动点，且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆∈𝑅)，则|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值为()A.3B.√13C.2√3D.√21【答案】B【解析】解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系：∵△𝐴𝐵𝐶是边长为4的等边三角形，∴𝐴(0,0)，𝐵(4,0)，𝐶(2,2√3)，设点P为(𝑥,𝑦)，0≤𝑥≤4，0≤𝑦≤2√3，∵𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，∴(𝑥,𝑦)=34(4,0)+14𝜆(2,2√3)=(3+𝜆2,√32𝜆)，∴{𝑥=3+𝜆2𝑦=√32𝜆，∴𝑦=√3(𝑥−3)①，而直线BC的方程是：𝑦=−√3(𝑥−4)②，由①②解得：{𝑥=72𝑦=√32，此时|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|最大，最大值是|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√494+34=√13，故选：B．以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得𝑦=√3(𝑥−3)，当该直线与直线BC相交时，|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值．本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．12.函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋3)−66𝑥−𝜋在[−𝜋3,2𝜋3]上的所有零点之和等于()A.3𝜋2B.𝜋C.2𝜋3D.5𝜋6【答案】C【解析】解：由𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋3)−66𝑥−𝜋=0，得2sin(2𝑥−𝜋3)=66𝑥−𝜋，分别作出函数𝑦=66𝑥−𝜋与𝑦=2sin(2𝑥−𝜋3)的图象如图：由图可知，函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋3)−66𝑥−𝜋在[−𝜋3,2𝜋3]上的所有零点之和等于𝜋3+𝜋3=2𝜋3．故选：C．由𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋3)−66𝑥−𝜋=0得2sin(2𝑥−𝜋3)=66𝑥−𝜋，分别作出函数𝑦=66𝑥−𝜋与𝑦=2sin(2𝑥−𝜋3)的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数𝑓(𝑥)的所有零点之和．本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan𝛼=3，则tan(𝜋4−𝛼)的值是______．【答案】−12【解析】解：∵tan𝛼=3，则tan(𝜋4−𝛼)=1−tan𝛼1+tan𝛼=1−31+3=−12，故答案为：−12．由题意利用两角差的正切公式，求得tan(𝜋4−𝛼)的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．14.如果数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=2𝑎𝑛−1，则此数列的通项公式𝑎𝑛=______．【答案】2𝑛−1【解析】解：当𝑛≥2时𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=(2𝑎𝑛−1)−(2𝑎𝑛−1−1)=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，整理得：𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1，又∵当𝑛=1时，𝑆1=2𝑎1−1，即𝑎1=1，∴数列{𝑎𝑛}构成以1为首项、2为公比的等比数列，∴𝑎𝑛=1⋅2𝑛−1=2𝑛−1，故答案为：2𝑛−1．利用𝑎𝑛与𝑆𝑛之间的关系、计算可知数列{𝑎𝑛}构成以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论．本题考查数列的通项，利用𝑎𝑛与𝑆𝑛之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15.长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，则该长方体的外接球表面积为______．【答案】50𝜋【解析】解：由题意，长方体外接球，长方体同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，即𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5．外接球的半径𝑅=12×√𝑎2+𝑏2+𝑐2=