【金版学案】2015-2016学年高中数学-1.3.4三角函数的应用课件-苏教版必修4

1．3.4三角函数的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接1．理解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．掌握三角函数模型应用的基本步骤，会将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接三角函数图象的应用画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期．分析：画函数y＝|sinx|的图象，可先画与之有关的正弦曲线，再根据因变量的非负性，作出x轴下方的图象关于x轴对称的对称图象，然后去掉x轴下方的图象，就得到需要的图象，可将这个函数的作图方法与函数y＝|x|的作图方法相类比．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：函数图象如图所示．从图中可以看出，函数y＝|sinx|是以π为周期的波浪形曲线．我们也可以这样进行验证：由于|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|，所以，函数y＝|sinx|是以π为周期的函数．学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：本例研究的是与正弦函数有关的简单函数y＝|sinx|的图象及其周期性，其实就是根据解析式模型建立图象模型，并根据图象认识性质．利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法．学习目标预习导学典例精析栏目链接已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．(1)下图是I＝Asin(ωt＋φ)A0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象，根据图中数据求解析式．(2)如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？分析：根据图象求函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值．解析：(1)由图知，A＝300，12·T＝1180－1－900＝1150，∴T＝175.∴ω＝2πT＝150π.又∵sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|π2，∴φ＝π6.∴I＝300sin150πt＋π6.(2)∵t在任一段1150秒内I能取到最大值和最小值，∴T≤1150⇒ω≥300π＞942.∴ω最小取值为943.变式训练1．如图所示为一简谐振动的图象，则该质点的振幅为________，振动周期为________．5cm0.8s学习目标预习导学典例精析栏目链接三角函数性质的应用交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．分析：交流电压与时间的关系呈现周期性变化，t＝0时即为初始电压，求周期及最小值则可直接运用性质．解析：(1)当t＝0时，E＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏；(2)T＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒；(3)电压的最大值为2203伏．当100πt＋π6＝π2，即t＝1300秒时取得这个最大值．变式训练2．一个单摆如图所示，角(弧度)从竖直开始移动作为时间(秒)的函数满足f(t)＝12sin2t＋π2.(1)最初时角(弧度)是多少？(2)频率是多少？(3)多长时间单摆完成5次完整摆动？解析：(1)当t＝0时，最初时角为π2rad.(2)f＝1T＝ω2π＝22π＝1π.(3)t＝5T＝10π2＝5π(s)．学习目标预习导学典例精析栏目链接三角函数模型的实际应用已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t/h03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表示式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动．分析：把数学问题与实际相结合，弄清条件，推导所求．解析：(1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.①由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.②由①，②⇒A＝0.5，b＝1，∴振幅为12.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1＞1.∴cosπ6t＞0.∴2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，k∈Z.即12k－3＜t＜12k＋3.③∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时可供冲浪者运动．变式训练3．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t/时03691215182124y/米10.113.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求出函数y＝Asinωt＋b的最小正周期、振幅和表达式．(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解析：(1)易知函数y＝f(t)的周期T＝12，∴ω＝2πT＝π6；振幅A＝13－72＝3，b＝13＋72＝10，∴函数y＝f(t)的解析式为y＝3sinπ6t＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5.0＋6.5＝11.5(米)．∴3sinπ6t＋10≥11.5，即sinπ6t≥12.∴2kπ＋π6≤π6t≤2kπ＋5π6(k∈Z)．∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．故在同一天内，取k＝0或k＝1，则有1≤t≤5或13≤t≤17，故该船可以当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时．