【金版学案】2015-2016学年高中数学-1.3.2三角函数的图象与性质课件-苏教版必修4

1．3.2三角函数的图象与性质学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握三角函数图象的作法，会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的图象．2．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接正弦函数、余弦函数的图象作出函数y＝1－cos2x的图象．分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：y＝1－cos2x化为y＝|sinx|，即y＝sinx（2kπ≤x≤2kπ＋π），－sinx（2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π），k∈Z.其图象如下图所示．学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：画y＝|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画出y＝sinx，x∈[0，π]和y＝－sinx，x∈[π，2π]上的图象，第二步将得到的图象向左和右平移，即可得到完整的曲线．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1．作函数y＝1tanx·sinx的图象．分析：首先将函数的解析式变形化为最简形式，然后作出函数的图象．解析：要tanx有意义必须有x≠kπ＋π2(k∈Z)，当tanx≠0，即x≠kπ(k∈Z)时，有y＝1tanx·sinx＝cosx，即y＝cosxx≠kπ2，k∈Z.其图象如下图所示．根据正弦函数的图象求满足sinx≥12的x的范围．分析：先画出正弦函数y＝sinx的图象，再根据图象求解．解析：首先在同一个平面直角坐标系内，作出函数y＝sinx与y＝12的图象，如下图所示．然后观察长度为2π(一个周期)的一个闭区间内的情形，如观察[0，2π]，看到符合sinx≥12的x∈π6，56π.最后由正弦函数的周期为2π，得x∈[2kπ＋π6，2kπ＋56π](k∈Z)．◎规律总结：(1)一般地，对y＝sinx，观察其一个周期，常常是[0，2π]或－π2，32π；对y＝cosx，观察其一个周期，常常是[0，2π]或[－π，π]．(2)此题也可以利用单位圆去求解，大家不妨一试．(3)数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图形．平时解题时要注意运用．变式训练2．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，如图所示，则这个封闭图形的面积为()A．4B．8C．2πD．4π解析：本题主要考查余弦函数图象，解本题可用对称图形面积相等予以处理．观察图形，由图象可知，图形S1与S2、S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等积转化为求矩形OABC的面积．∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π.∴封闭图形面积为4π.答案：D学习目标预习导学典例精析栏目链接定义域和值域求函数y＝2sinx＋1的定义域．分析：要求y＝2sinx＋1的定义域，只需求满足2sinx＋1≥0的x的集合，即只需求出满足sinx≥－12的x的集合．由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上2kπ(k∈Z)即可．解析：由题意知需2sinx＋1≥0，也即需sinx≥－12，①在一个周期－π2，3π2内符合①的角为－π6，7π6，由此可得函数定义域为2kπ－π6，2kπ＋7π6(k∈Z)．◎规律总结：确定三角函数的定义域的依据：(1)正、余弦函数和正切函数的定义域；(2)若函数是分式函数，则分母不能为零；(3)若函数是偶次根式函数，则被开方式非负；(4)若函数是形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的函数，则其定义域由f(x)＞0确定；(5)当函数是由实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义，同时还要使实际问题有意义．变式训练3．求函数y＝－2cos2x＋3cosx－1＋lg(36－x2)的定义域．分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成的．求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论．解析：欲求函数定义域，则有－2cos2x＋3cosx－1≥0，36－x2＞0，即（2cosx－1）（cosx－1）≤0，－6＜x＜6，也即12≤cosx≤1，－6＜x＜6，解得－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ（k∈Z），－6＜x＜6.取k＝－1，0，1，可分别得到x∈－6，－53π或x∈－π3，π3或x∈53π，6.即所求的定义域为－6，－53π∪－π3，π3∪53π，6.学习目标预习导学典例精析栏目链接奇偶性和单调性判断下列函数的奇偶性：(1)y＝2sin(2x)；(2)y＝sinx－1；(3)y＝1－cosx＋cosx－1.解析：(1)显然x∈R.∵f(－x)＝2sin[2(－x)]＝－2sin(2x)＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)∵sinx－1≥0，∴sinx＝1，x＝2kπ＋π2(k∈Z)．函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数．(3)∵1－cosx≥0且cosx－1≥0，∴cosx＝1，x＝2kπ(k＝Z)．此时，y＝0，故该函数为既奇又偶函数．◎规律总结：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．变式训练4．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx；(3)f(x)＝loga()sinx＋sin2x＋1.分析：可利用函数奇偶性定义予以判断．解析：(1)函数的定义域R关于原点对称．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，f(－x)＝(－x)sin(π－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)函数应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为{xx∈R，且x≠2kπ＋3π2，k∈Z}．∴函数的定义域关于原点不对称．∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数的定义域为R，f(－x)＝loga(sin(－x)＋sin2（－x）＋1)＝loga(sin2x＋1－sinx)＝loga1sin2x＋1＋sinx＝－loga(sinx＋sin2x＋1)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．求下列函数的单调区间：(1)y＝cos2x；(2)y＝2sinπ4－x.分析：可依据y＝sinx(x∈R)和y＝cosx(x∈R)的单调区间来求．解析：(1)函数y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)．∴kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．∴函数y＝cos2x的单调递增区间和单调递减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)，kπ，kπ＋π2(k∈Z)．(2)y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，∵y＝sinx(x∈R)的单调递增、单调递减区间分别为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)．∴函数y＝－2sinx－π4的递增、递减区间分别由下列不等式确定．2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)，2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)，2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π(k∈Z)．∴函数y＝2sin(π4－x)的单调递增区间、单调递减区间分别为2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)，[2kπ－π4，2kπ＋34π](k∈Z)．◎规律总结：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；②A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．变式训练5．求函数y＝cosπ3－2x的单调递增区间．解析：y＝cosπ3－2x＝cos2x－π3，由－π＋2kπ≤2x－π3≤2kπ，k∈Z得：kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，∴函数y＝cosπ3－2x的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．学习目标预习导学典例精析栏目链接正切函数的图象与性质完成下列各小题：(1)函数y＝11＋tanx的定义域为________；(2)函数y＝3－tanx的定义域为________，值域为________；(3)函数y＝tan(sinx)的定义域为____________，值域为________．解析：定义域是使各个解析式有意义的自变量x的取值范围，而值域是在定义域内函数值的取值范围．(1)要使函数y＝11＋tanx有意义，则有1＋tanx≠0，x≠kπ＋π2（k∈Z）.即x≠kπ－π4，且x≠kπ＋π2(k∈Z)．∴函数的定义域为xx∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z.(2)∵3－tanx≥0，x≠kπ＋π2（k∈Z），∴tanx≤3.∴kπ－π2＜x≤kπ＋π3(k∈Z)．故函数的定义域为{xkπ－π2＜x≤kπ＋π3，k∈Z}，值域为[0，＋∞)．(3)∵－1≤sinx≤1，∴定义域为R，值域为[－tan1，tan1]．答案：(1)x|x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z(2)kπ－π2，kπ＋π3(k∈Z)[0，＋∞)(3)R[－tan1，tan1]方法指导：解答本题要注意掌握好基本函数y＝tanx的定义域、值域、单调性等知识．变式训练6．求解下列各题：(1)求函数f(x)＝tanx·cosx的定义域与值域；(2)求函数f(x)＝tan|x|的定义域与值域，并作其图象．解析：(1)其定义域是xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.由f(x)＝sinxcosx·cosx＝sinx∈(－1，1)，∴f(x)的值域是(－1，1)．(2)f(x)＝tan|x|化为f(x)＝tanx，x≠kπ＋π2，k∈Z，x≥0，－tanx，x≠kπ＋π2，k∈Z，x＜0，可知，函数的定义域为xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z，值域为(－∞，＋∞)．其图象如下图所示．求函数y＝tan2x－π3的定义域、周期和单调区间．分析：根据正切函数的定义域、周期和单调区间求解．解析：函数的自变量x应满足：2x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋512π，k∈Z.∴函数的定义域为xx∈R且x≠kπ2＋5π12，k∈Z.函数y＝tan2x－π3的周期为π2.由于y＝tanx，x∈－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)是增函数，∴－π2＋kπ＜2x－π3＜π2＋kπ，k∈Z.即－π12＋kπ2＜x＜5π12＋kπ2，k∈Z.∴函数的单调递增区间为(－π12＋kπ2，5π12＋kπ2)，k∈Z.◎规律总结：一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期可直接由T＝πω得到．变式训练7．比较tan－17π4与tan－22π5的大小．解析：∵tan－17π4＝－tanπ4，tan－22π5＝－tan2π5，又∵0＜π4＜2π5＜π2，y＝tanx在0，π2内单调递增，∴tanπ4＜tan2π5.∴－tanπ4＞－tan2π5，即tan－17π4＞tan－22π5.