2020中考专题——圆的复习

中考复习专题圆1．如图1，点A，B，C在⊙D上，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为（）A．110°B．140°C．35°D．130°2．如图2，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为()A．2B．3C．4D．53．如图3，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝115°，则∠BOD等于________．BB130°课前热身4.如图4所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（C）A.PA=PBB.∠APO=20°C.∠OBP=70°D.∠AOP=70°5.如图5所示，直线AB与⊙O切于A点，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则AB的长为（C）A.B.4C.D.24323图4图5课前热身知识梳理一、圆的基本性质圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的的图形，叫做圆。定义2：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆。弦连接圆上任意两点的线段，叫做弦。直径直径是经过圆心的弦，是园内最长的弦。弧圆上任意两点间的部分，叫做弧。弧有优弧、半圆、劣弧之分。能够完全重合的弧，叫做等弧。圆心角顶点在圆心的角，叫做圆心角。圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。知识梳理圆的对称性1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线；2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心；3、圆具有旋转不变性。垂径定理及其推论定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。圆心角、弧之间的关系在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。一、圆的基本性质知识梳理圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：圆内接四边形的对角互补。一、圆的基本性质1.(2018广州,7,3分)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是()A.40°B.50°C.70°D.80°一、圆的基本性质经典回顾分析D根据“圆上一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”可得∠AOC=2∠ABC=40°,由OC⊥AB可得 = ,∴∠AOB=2∠AOC=80°.AC︵BC︵2.(2017广东,9,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为()A.130°B.100°C.65°D.50°一、圆的基本性质经典回顾思路分析由圆内接四边形的对角互补知,∠D=∠CBE,再由三角形的内角和为180°及等腰三角形的性质,求得∠DAC的大小.分析∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠D=∠CBE=50°,∵DA=DC,∴∠DAC= ×(180°-50°)=65°,故选C.123.(2017广州,9,3分)如图3,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是 ()A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD一、圆的基本性质经典回顾分析∵AB为☉O的直径,∴AB=2OB,又∵ABAD,∴AD=2OB不正确,即A不正确;连接OD,则∠BOD=2∠BAD=40°,∵OC=OD,OB⊥CD,∴∠BOC=∠BOD=40°,∴∠OCE=50°,∴EOCE,∴B不正确,C不正确;∵∠BOC=40°,∠BAD=20°,∴∠BOC=2∠BAD,∴D正确,故选D.一、圆的基本性质4.(2015深圳,10,3分)如图4,AB为☉O的直径,已知∠DCB=20°,则∠DBA为()A.50°B.20°C.60°D.70°经典回顾分析解法一:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠DCB=20°,∴∠ACD=70°,∵同弧所对的圆周角相等,∴∠DBA=∠ACD=70°,故选D.解法二:连接AD,则∠DAB=∠DCB=20°,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DBA=70°，故选D一、圆的基本性质1.(2019吉林,5,2分)如图,在☉O中, 所对的圆周角∠ACB=50°,若P为 上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度数为 ()A.30°B.45°C.55°D.60°AB︵AB︵答案：1.B2.D2.(2017陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=30°,☉O的半径为5.若点P是☉O上一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为 ()A.5B. C. D. 5325253真题练习3.(2016陕西,9,3分)如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为 ()A.3 B.4 C.5 D.6 一、圆的基本性质真题练习3333答案：3.B4.4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC=.23二、圆的证明知识梳理位置关系相离相切相交公共点个数012公共点名称无切点交点数量关系𝑑𝑟𝑑=𝑟𝑑𝑟直线与圆的位置关系二、圆的证明知识梳理圆的切线切线的判定（1）与圆有唯一公共点的直线，是圆的切线；（2）到圆心的距离等于半径的直线，是圆的切线；（3）过半径外端点，且垂直于半径的直线，是圆的切线。切线的性质切线垂直于经过切点的半径。切线长过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，就是这点到圆的切线长。切线长定理从圆外一点可以引出圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。二、圆的证明知识梳理圆与三角形确定圆的条件不在同一直线的三个点，确定一个圆。三角形的外心经过三角形的三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆。外接圆的圆心叫作三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。三角形的内心与三角形三边都相切的圆，叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。经典回顾二、圆的证明1.(2019广州,5,3分)平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线的条数为 ()A.0条B.1条C.2条D.无数条分析C∵点P到点O的距离为2,☉O的半径为1,∴点P到圆心的距离大于半径,∴点P在☉O外.∵过圆外一点可以作圆的两条切线,∴过点P可以作☉O的两条切线.故选C.经典回顾二、圆的证明2.(2017广州,6,3分)如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 ()A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点分析B∵☉O内切于△ABC,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是三条角平分线的交点,故选B.经典回顾二、圆的证明3.(2015梅州,6,3分)如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于 ()A.20°B.25°C.40°D.50°分析D连接OA,在等腰△ABO中,∠B=∠BAO=20°,∴∠AOC=40°.∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC,则∠OAC=90°,∴在Rt△ACO中,∠C=50°,故选D经典回顾二、圆的证明4.(2019广东,24,9分)如图1,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是☉O的切线;4.解析(1)证明:如图∵AB=AC,∴∠1=∠3.∵∠1=∠2,∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴ED=EC. (2)证明:如图,连接OA、OB、OC,经典回顾二、圆的证明∵OB=OC,AB=AC,∴AO垂直平分BC,∴AO⊥BC,由(1)知∠2=∠3,∴AB∥DF,∵AB=AC=CF,∴四边形ABCF是平行四边形∴AF∥BC,∴AO⊥AF,又∵OA是☉O的半径,∴AF是☉O的切线真题练习二、圆的证明1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于 ()A.55°B.70°C.110°D.125°答案：1.B2.60°2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=°.真题练习二、圆的证明3.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是☉O的直径,A是☉O外一点,点C在☉O上,AC与☉O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为.答案：3.26真题练习二、圆的证明4.(2017湖北黄冈,20,7分)已知:如图,MN为☉O的直径,ME是☉O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分∠DMN.求证:(1)DE是☉O的切线;(2)ME2=MD·MN.三、圆的计算知识梳理弧长公式扇形面积公式𝑙=𝑛𝜋𝑅180𝑆扇=𝑛𝜋𝑅2360=12𝑙𝑅圆与正多边形的计算，总是归结为一个直角三角形的计算，它的三边分别为正多边形边长的一半、半径和边心距，隐含条件是中心角的一半𝛼=180°𝑛三、圆的计算经典回顾1.(2015广东,9,3分)如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为 ()A.6B.7C.8D.9分析D依题意知 的长=BC+CD=6,∴S扇形DAB=12𝑙𝑅= ×6×3=9,故选D.BD︵12三、圆的计算经典回顾2.(2018广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)分析解法一：连接OE.阴影部分的面积=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)= ×2×4-=π.解法二：如图,连接OE,交BD于点H,则S△BEH=S△OHD,所以阴影部分的面积=S扇形OED= π×22=π.1221222414三、圆的计算经典回顾3.(2016广州,15,3分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧 的长为(结果保留π).AB︵3分析:连接AO,由于弦AB为小圆的切线,点P为切点,故OP⊥AB,AP=BP= AB=6 ,在Rt△AOP中,tan∠AOP= = ,OA= =12,∴∠AOP=60°,连接OB,则∠AOB=120°,∴l = =8π.123APOP322APOPAB ︵12012180三、圆的计算经典回顾4.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为 上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为 ()A.30°B.36°C.60°D.72°DE︵分析B连接CO,DO,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠COD= ×360°=72°,∴∠CPD= ∠COD=36°,故选B.1512三、圆的计算真题练习1.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是 ()A.48πB.45πC.36πD.32π分析∴S全=S侧+S底=32π+16π=48π.故选A三、圆的计算真题练习2.(2019广州,15,3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥侧面展开扇形的弧长为.(结果保留π)答案：2 π.主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,∴此圆锥的底面圆的直径为2 ,圆锥的底面圆的周长为2 π,等于圆锥侧面展开扇形的弧长2斜边长为=2 ,2222222三、圆的计算真题练习3.(2016山东青岛,7,3分)如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角