2021年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学

数学试题第1页（共4页）2021年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－x－2＜0且x∈Z}，则A∩B＝A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}2．（生活实际题）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有A．6种B．24种C．36种D．72种3．（逻辑题）甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是A．甲B．乙C．丙D．丁4．（学科交织题）温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高10K，化学反应的反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius公式：RTEaAke式中A为碰撞频率因子(A＞0)，e为自然对数的底数，Ea为活化能，R为气体常数．通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2．则21lnkkA．AERTTaln)(12B．AERTTaln)(21C．2112)(TRTTTEaD．2121)(TRTTTEa5．设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为A．－2B．2－2C．－1D．1－26．（数学文化题）我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可以表示为A．π180cosnnB．π360cosnnC．π180sinnnD．π90sinnn7．（社会热点题）新型冠状病毒肺炎（COVID－19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取数学试题第2页（共4页）得了抗疫斗争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测．若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p(0＜p＜1)．该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，此时p0＝A．515B．55C．5151D．5518．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若∀x∈R，都有2f(x)＋xf′(x)＜2，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是A．{x|x≠±1}B．(－1，0)∪(0，1)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．若0＜c＜1，a＞b＞1，则A．logac＞logbcB．abc＞bacC．alogbc＞blogacD．a(b－c)＞b(a－c)10．下列四个命题中，真命题为A．若复数z满足z∈R，则zRB．若复数z满足1z∈R，则z∈RC．若复数z满足z2∈R，则z∈RD．若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则12zz11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则A．C的准线方程为y＝1B．线段PQ长度的最小值为4C．M的坐标可能为(3，2)D．OP→·OQ→＝－312．（五育导向题·美育）黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N*)，则A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（数据分析题）某公司的广告费支出x(单位：万元)与营业额y(单位：万元)之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：数学试题第3页（共4页）广告费支出x(单位：万元)1020304050营业额y(单位：万元)6268758189由最小二乘法求得回归直线方程为0.67yxa，则a的值为__________．14．（开放举例题）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下面四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________．15．已知P是直线3x＋4y－10＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，C为圆心，A，B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为__________．16．（双空题）在△ABC中，sin(A－B)＝sinC－sinB，则cosA＝__________；点D是BC上靠近点B的一个三等分点，记sin∠ABDsin∠BAD＝，则当取最大值时，tan∠ACD＝__________．（本题第一空2分，第二空3分．）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．18．（结构不良问题）（12分）在①离心率为3，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由．问题：已知曲线C：mx2＋ny2＝1(m，n≠0)的焦点在x轴上，____________，是否存在过点P(－1，1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（三角函数与解三角形结合）（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin(x－A)，sinA)，n＝(cosx，1)，f(x)＝m·n，且对任意x∈R，都有f(x)≤f(5π12)．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若a＝23，sinB＋sinC＝62，求△ABC的面积．20．（联系高等数学、数学定理）（12分）数学史上有一个著名的波尔约－格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai）和保罗·格维也纳（PaulGerwien）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明。试据此解决以下问题：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等．请设计一数学试题第4页（共4页）种剪拼方案，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．21．（导数与数列结合）（12分）已知()lnafxxxxx，其中a∈R．（1）讨论f(x)的极值点的个数；（2）当n∈N*时，证明：2222341ln2lnlnln2324nnnn＞．22．（五育导向题·劳动教育）（12分）某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p(0＜p＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k(k∈N*)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k个电子元件进行逐一检测．（1）记对电子元件总的检测次数为X，求X的概率分布和数学期望；（2）若p＝0.99，利用(1－α)β(0＜α1，β∈N*)的二项展开式的特点，估算当k为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n－1(n∈N*)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？