最短路径问题教学设计

最短路径问题教学设计重庆市聚奎中学校周治来本节课的教学内容选自人教版八年级上册第十三章第四节的课题学习。一、设计理念：“人是有思想的芦苇”，本着相信思考的力量的原则，本节课的设计让孩子们在自主探究、与人合作、展示提升中开始快乐的学习历程，老师对孩子们的学习成果予以评价，对孩子们的表现以予赏识，对孩子们的困惑予以引导。用知识的火种点燃学生发现之火、探索之火、创新之火，让学生的个性在课堂活动中得到发展。二、教学内容解析《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章《轴对称》的课题学习内容，是在学生已经学习过轴对称、三角形的基础上，如何利用线段公理解决最短路径问题。它既是轴对称、平移、三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。本节课的学习过程体现了建模、转化、类比的数学思想方法。三、学情分析：作为八年级上册的初中生，在以前的学习中很少遇到最值问题（最短路径问题即最值问题），所以在解决这方面问题的方法储备较少，感觉比较陌生，无从下手；但是学生已有两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质与轴对称的知识储备，为本节课的学习奠定了较好的基础。还有就是在授课的过程中怎样建立这些知识之间的联系，从而解决本节课的问题。四、学习目标：根据以上的教材分析和学情分析，本节课的学习目标确定为以下三个方面：知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用。过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想。情感态度价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。五、教学重、难点1．重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。2．难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小的问题，如何说明“最短”。六、教学方法本节课采用“引导---探究---发现---证明—归纳总结”的教学模式七、教学媒体设计多媒体课件，导学案，几何画板。八、教学过程教学内容师生活动设计意图（一）创设情境、导入新课【情景引入】（二）知识回顾1．两点的所有连线中，最短。2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短。教师提出问题，日常生活中从A地前往B地，人们都喜欢走红色这条路线，而不走蓝色这条路线，为什么？学生答：这样走更近。教师提问：依据是什么？学生答：（1）两点之间，线段最短（2）三角形两边之和大于第三边而我们这节课所要共同探讨的内容就是——最短路径问题。（板书）（学生活动）回顾知识并一起回答。通过日常生活中的实例，引起学生兴趣，调动其学习的积极性。荷兰教育家弗赖登尔说“数学来源于生活，也必须植根于生活”同时新课程标准强调数学与现实生活的联系，而且要求“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发”，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。利用生活常识学生很容易得到答案，感受数学来源于生活。引导学生思考现象背后蕴含的数学原理，对这节课的教学做好铺垫。BA（三）引入新知相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？教师提问：1.你能把刚才的图形转化为怎样的数学图形？学生回答：A、B两地抽象为两个点，河L抽象为一条直线即得这样一个数学图形2.在转化的数学图形中，你能把这个实际问题抽象为怎样的数学问题？学生回答：在直线L上找一点C使它到A、B两点的距离之和最小。变为这样一个几何问题：如图，点A、B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC+CB的和最小？为学生提供生活情景，培养学生把生活问题转化为数学问题的能力。经历观察—作图—总结等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力。通过实际问题建模成数学问题，让学生体会建模思想，认识到数学是刻画表达各种现象的重要方法，由于计算机的发展，数学已不仅是一门学科，还是一门技术，在自然科学、社会科学的领域都有应用，感受数学于薄小纸片上决胜千里之外的巨大作用，激发学生的上进心、求知欲，培养学生用数学的意识和能力，落实学习目标。利用几何画板动态的展示在直线l上是否存在这样的C点。3.你能找到这样的点C了吗？学生回答：还是不能4．当点A、B在直线l的异侧，点C在直线l的什么位置时，AC+BC的和最小？学生回答：连接A、B两点所在的线段，交直线l于点C，C点即为所求。依据:两点之间，线段最短。5.观察刚才的图形和问题图形，它们的点和直线的位置关系有什么不同？学生回答：点在直线的同侧和异侧6.你能把同侧的问题转化为异侧解决吗？（学生思考，也可以相互之间讨论一下）让学生直观的感受AC+CB的变化过程通过设置问题串，由问题引导学生的思考，通过学生的思考，小组合作交流，尝试在图中去找满足条件的点C，教师的引导、利用学生以学习的知识让学生明白这个问题是通过运用轴对称的知识将同侧转化为异侧进行解决的。抓住图形的位置特征，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，感悟转化的思想。通过合作讨论，教师引导启发学生运用轴对称的性质将同侧问题转化为lAB作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．（也可以过A点作l的对称点）7.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？（学生以小组为单位合作解决这个问题）证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′异侧问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，强化其甄别是非的能力。由于证明方法的独特性，注意问题方法的总结，感受利用三角形两边之和大于第三边的性质判断线段之间的大小关系的思想。lABlABB’CC’C（四）学以致用1.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。2.如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草,然后到河边饮水，最后再回到马棚A。由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．8.教师引导学生对解决问题的思想、方法的小结。学生独立完成解题思路：过点M作BC的对称点M′，连接M′N，与BC的交点即为所求的点P。（学生小组合作讨论，相互交流解题经验）构建解决这类问题的数学模型，为解决后面的问题做准备。类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法,法国数学家兼天文学家，拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”通过类比刚才解决问题的方法，很容易就能完成这个问题。由于此题较难，充分发挥集体的优势来回答这个问题。问题：请你确定这一过程的最短路径。（五）归纳小结本节课你收获了哪些知识？1、本节课研究问题的基本过程：2、本节课运用了转化的数学思想方法。1.转化为数学问题:如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在l1、l2的什么位置?解题思路：（1）过直线l1、l2作A点关于它们的对称点A′,A′′,（2）连接A′A′′所在的线段，与直线l1、l2分别交于点M、N（3）走A—M—N路线就最短学生总结为主，教师补充。进一步提升学生利用已学知识解决问题的能力，并在设置上由浅入深，逐渐加深学生思考，培养学生应用意识、创新意识、过程经验，通过这道题继续巩固本节课解题基本思路（轴对称、线段和最短），再次体会转化思想，把本节课的知识进一步拓展延伸。教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时使学生养成善于总结的良好的学习习惯，在开动思维、深入探究直到解决问题中获得成功。AL1L2.A实际问题数学模型合情推理逻辑证明（六）课后思考某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？进一步灵活运用本节课所学知识，开拓学生的视野。九、说教法设计和学法指导1．教法设计：结合本课的教学内容与学情分析，教学过程中恰当地利用多媒体课件和几何画板软件辅助教学，采用“探究合作式”问题教学法,将知识问题化，用问题引领学习活动，教师起着点拨和指导的作用。2．学法指导：遵循了“以学生为主”的教学理念，鼓励学生积极参与知识的形成过程，动笔画、动口说、动脑想，既自主探究又合作交流，给学生充分活动的时间和空间，让学生表现．教师在整个教学过程中，尽量少讲，教师在学生有困难时给予点拨和总结，拓展学生思维、提升学生能力。十、评价与反思本节课的设计，在课堂结构与突出学生个性发展上做了一些尝试。主要表现为：通过运用生活中的实例创设情境，让学生主动参与；通过小组活动，让学生知道同侧问题要转化为异侧来解决；通过问题辨析，让学生理解数学模型的作用和转化的思想。体现了教学方式和学习方式的转变，调动了学生主动参与教学活动的积极性，培养了学生合作学习、积极探究的意识和能力，增强了探究学习的兴趣，从而有利于本节教学任务的顺利完成。由于课堂时间限制，小组活动成果不能充分展示，今后要努力探索更多的形式，让学生活动得到更全面的展示。