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2.3弧度制一、素质教育目标(一)知识教学点1.弧度制的定义.2.用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式.3.角度制与弧度制的换算.4.角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(二)能力训练点1.理解并掌握弧度制定义,领会弧度制定义的合理性.2.熟练地进行角度制与弧度制的换算.3.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式解题.(三)德育渗透点使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辩证统一的,而不是孤立、割裂的关系.二、教学重点、难点、疑点及解决办法1.教学重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制的互化换算;弧度制的运用.2.教学难点:理解弧度制定义,弧度制的运用.3.教学疑点:一个角的弧度由该角的大小来确定,与求比值时所取的半径大小无关.三、课时安排本课题安排1课时.四、教与学过程(一)复习角度制师:我们在初中几何中研究过角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义的?师:这位同学答得完全正确,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,在数学和其它许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度——弧度制,它是如何定义的呢?(二)弧度制定义师:我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图提问:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢?师:如果圆心角表示一个负角,且它所对的弧长l=3πγ,那这个圆心角的弧度数是多少?的弧度数是-3π.师:下面我们给出弧度制的定义.一般地,我们规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,任一已知角α的γ为圆的半径.这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.提问:为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?(教师启发学生画出如图2-8的示意图,复习初中已学过的弧长公式.)分别为l和l′,点M和M′到点O的距离(即圆半径)分别为r(r>0)半径的比值,由∠α的大小来确定,与所取的半径大小无关,仅与角的大小有关.的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积.这个圆弧长公式,用弧度制表示比用角度制表示简便得多.长,R是圆的半径.(三)角度制与弧度制的换算师:我们已经知道若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是2π,而在角度制里它是360°,因此360°=2π弧度→180°=π弧度提问:1°等于多少弧度?1弧度等于多少度?生:由180°=π弧度,等式两边同除以180可得到:师:进一步我们还可通过计算得到下面我们可利用这个公式进行角度制与弧度制的换算.例2把22°30′化成弧度.师:同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住180°=π弧度这个关键.下面请大家写出一些特殊角的弧度数.师:度数与弧度数的换算,还可利用《中学数学用表》中的《度、分、秒化弧度表》、《弧度化度、分、秒表》来进行,用法详见表中说明.(四)角的集合与实数集R的一一对应关系.师:用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集R之间建立这样的一一对应关系:(如图2—10所示)每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.于是,就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数,它的自变量的意义可以有多种解释,从而使三角函数的应用更加广泛.在高等数学与科学研究中所以普遍采用弧度制,这是原因之一.(五)角度制与弧度制的比较师:引进弧度制后,我们应将它与角度制进行对比,同学们应明确:(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.此外,在角的表示上二者也有区别,(1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写,这时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解为名数,如sin2是指sin(2弧度).但如果用度(°)为单位表示角时,度(°)就不能省去;(2)用弧度为单位表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数,如45°=(六)练习1.把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式(2)∵1.5弧度≈57.3°×1.5=85.95°=85°57′,∴tg1.5≈tg85°57′=14.12.3.已知扇形周长为10cm,面积为6cm2,求扇形中心角的弧度数.解:设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π),弧长为l,半径为r,∴r2-5r+6=0∴r1=2,r2=3.(七)总结本节课我们学习了弧度制的定义,弧度制与角度制的互化换算以及弧度制的简单运用,其中理解弧度制的定义及定义合理性是关键.五、作业P.130-132中5—18.六、板书设计
本文标题:扇形面积公式3角度制与弧度制的换算4角的集合与实数集R
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