(完整)1.3.2函数的极值与导数(完美版)

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f/（x）;③解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.关注用导数本质及其几何意义解决问题3.思考：观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？aboxyxfy新课讲解——函数的极值:观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。x2y0极值的定义点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值，点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。观察函数y=f(x)的图像探究1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？yxfydefoghxC结论:极值点处导数值为0yxfydefoghxC探究函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?探究极值点两侧导数符号有何规律?f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0x2结论若x0满足f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,如果f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.oaX00bxy0)(0xf0)(xf0)(xfoaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即0)(xf.0)(xf同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.0)(xf0)(xf练习：下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy2、函数在某点取得极值的必要条件和充分条件分别是什么？探究1、导数值为0的点一定是函数的极值点吗？可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配依据是什么？各区间对应导数的符号如何判定例1、求函数的极值.4431)(3xxxf解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.(1)确定函数的定义域，求导数(2)求方程的根(3)用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.(4)检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。f(x)f(x)=0f(x)=0f(x)求解函数极值的一般步骤x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2、求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xf练习:求函数的极值.216xxy解:.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极大值-3↗极小值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.例3、已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf-3/11x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.练习:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:).35(35)(2224baxxbxaxxf由题意,应有根,故5a=3b,于是:10)(xxf).1(5)(22xaxxf(1)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗)(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-0≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘)1,(),1()(xf由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.例4、已知:(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.).0(1)(2axbaxxf解:(1).)1(2)1()(2)1()(222222xabxaxxbaxxxaxf令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a20,0)(xf故有不相等的两实根α、β,设αβ.0)(xf又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负.注意到与g(x)的符号相同,可知α为极小值点,β为极大值点.)(xf(2)由f(α)=-1和f(β)=1可得:.1122baba两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:.0,02,0,,02)2(22babbaba从而方程可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即α=-1,β=1.0)(xf由.2121)(2aabaf故所求的值为a=2,b=0.例5、已知函数f(x)满足条件:①当x2时,;②当x2时,;③.求证:函数y=f(x2)在处有极小值.0)(xf0)2(0)(fxf2x证:设g(x)=f(x2),则.2)()(2xxfxg故当时,x22,由条件①可知,即:2x0)(2xf;02)()(2xxfxg当时,x22,由条件②可知,即:20x0)(2xf;02)()(2xxfxg又当时,.022)2()2(2fgx所以当时,函数y=f(x2)取得极小值.2x为什么要加上这一步?例6、直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2a2时，恰有三个不同公共点．答案：(－2,2)归纳小结1、极值的定义。2、判定极值的方法。３、求极值的步骤。思想方法总结：观察、转化、数形结合。