利用导数研究函数的性质复习

第二节利用导数研究函数的性质重点难点重点：1.用导数判定函数单调性的方法2．函数极值的概念及求法、函数的最值难点：导函数的图象与函数单调性的关系知识归纳1．函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果f′(x)__0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果f′(x)__0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数．(2)①如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)等于常数．②对于可导函数f(x)来说，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)＜0是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要条件，如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)＞0.2．函数的极值(1)函数极值的定义已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))，则称f(x)在点x0取得极大(小)值，称x0是f(x)的一个极大(小)值点．3．函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值．误区警示1．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在函数的定义域内．．．．解不等式f′(x)0(或f′(x)0)．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点.(3)注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0，且y＝f(x)在(a，b)内导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数．3．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论．4．极值与最值的区别和联系(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性.(2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点．．．．．．不一定是极值点．．．．．．．．．(4)极值是一个局部．．概念，极大值不一定．．．比极小值大．解题技巧1．利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f′(x)；②在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间．2．判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导且f′(x0)＝0.①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)为极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．3．求最值的步骤：第1步求导数f′(x)；第2步求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．第4步将f(x)的各极值及f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．4．求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范条理的写出解答过程，养成列表的习惯，含参数时注意分类讨论，已知单调性求参数的值域或取值范围时，要注意其中隐含f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．还要注意f(x)在区间A上单调增(或减)与f(x)的单调增(或减)区间是A的区别．5．构造法在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决．[例]证明不等式lnx2x－1x＋1，其中x1.解析：设f(x)＝lnx－2x－1x＋1(x1)．则f′(x)＝1x－4x＋12＝x－12xx＋12，∵x1，∴f′(x)0.∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数．又∵f(1)＝0，当x1时，f(x)f(1)＝0，即lnx－2x－1x＋10.∴lnx2x－1x＋1.[例1]函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A．(－π，－π2)和(0，π2)B．(－π2，0)和(0，π2)C．(－π，－π2)和(π2，π)D．(－π2，0)和(π2，π)利用导数研究函数的单调性解析：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(－π，－π2)时，y′＝xcosx0，∴y为增函数；当x∈(－π2，0)时，y′＝xcosx0，∴y为减函数；当x∈(0，π2)时，y′＝xcosx0，∴y为增函数；当x∈(π2，π)时，y′＝xcosx0，∴y为减函数；∴y＝xsinx＋cosx在(－π，－π2)和(0，π2)上为增函数，故应选A.答案：A(文)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，由f′(x)0得，x2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．答案：D(理)(2011·北京文，18)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)值的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ex－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)，(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.答案：(1)f(x)在[0,1]上的最小值，当k≤1时为－k，当1k2时为－ek－1，当k≥2时为(1－k)e.[例2]已知函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m.(1)求f(x)的单调递增区间．(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．利用导数求函数的极(最)值解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，由f′(x)0得，1x3.∴f(x)在区间(1,3)上单调递增．(2)由f′(x)0得x1或x3，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，在[3,4]上单调递减，f(0)＝m，f(1)＝m－4，f(3)＝m，f(4)＝m－4，且m－4m，∴m－4＝2，∴m＝6，∴f(x)在[3,4]上的最大值为m＝6.(文)(2011·泉州二模)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：对函数求导后可知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是f(0)＝2，故选C.答案：C(理)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x0或x2时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，故选A.答案：A[例3]已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．已知函数的单调性，求参数值或参数的取值范围解析：f′(x)＝3ax2＋6x－1.∵f(x)是R上的减函数．∴f′(x)≤0恒成立．即3ax2＋6x－1≤0在x∈R上恒成立，∴a0且Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3.点评：此类问题的易错点是a＝－3时，该函数也是R上的减函数，符合题目要求，好多学生在解此类问题时，往往丢掉等号．(文)函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R解析：f′(x)＝3x2＋a，由条件f′(1)＝0，∴a＝－3，b∈R.答案：D(理)(2011·陕西咸阳彩虹中学模拟)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是单调增函数，求a的取值范围．解析：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，所以f′(x)＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝0，得a＝12，此时有f(x)＝(x2－4)(x－12)，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝43，或x＝－1，又f(43)＝－5027，f(－1)＝92，f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，即4a＋8≥0，8－4a≥0，所以－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].[例4](2011·聊城模拟)函数f(x)＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0，32)C．(0，＋∞)D．(－∞，3)分析：由f(x)在(0,1)内有极小值知，f′(x)＝3x2－2a＝0在(0,1)内有解x＝x0，且xx0时，f′(x)≤0，xx0时，f′(x)≥0.已知函数极值求参数值或参数的取值范围解析：f′(x)＝3x2－2a，令f′(x)＝0得，a＝32x2，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，∴f′(0)0且f′(1)0，∴a∈(0，32)，故选B.答案：B点评：设f′(x)＝0的解为x＝x0，x0∈(0,1)，则x∈(0，x0)时，f′(x)＝3x2－3x20＝3(x＋x0)(x－x0)0，x∈(x0,1)时，f′(x)0，∴f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，因此x0是f(x)的极小值点．由于是选择题，故解答过程中上述验证f(x)能够取得极小值的过程可省略，若是解答题，省去上述过程则解答过程不完整．(文)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．若f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－12(a＋6)0，从而有a6或a－3.答案：a－3或a6(理)(2011·杭州二模)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－13解析：由y′＝(eax＋3x)′＝aeax＋3＝0得x＝1aln－3a0及a0，∴ln－3a0，∴0－3a1，∴a－3.答案：B[例5]已知函数y＝xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()