恒定元流能量方程

•能量方程是水流运动必须遵循的基本方程。•能量的转化与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，水流能量方程则是这一普遍规律在水流运动中的具体表现。第四节恒定元流能量方程•从质量守恒定律推出的连续性方程，只给出了流速和过水断面之间的关系，是一个运动学方程。•由于水流运动的过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此流速与其他因素之间的关系可以通过分析水流的能量关系得出。•先从最简单的理想液体元流情况入手。推导步骤1.假设条件--不可压缩、恒定流、只受重力2.外力作功p1dA1u1dt-p2dA2u2dt3.动能改变dEk=½dQdt（u22-u12）4.势能变化dEp=ρdQdtgZ2-ρdQdtgZ15.依据功能原理列等式一、能量方程的依据原理功能原理—外力所做的功等于机械能的变化对如图不可压缩理想流体恒定流动力学模型，dt时段内功能变化：4dQdtppdtudApdtudAp)(21222111压力做功：（a）)22()22(21222122gugudQdtuugdQdt动能增加：（b）)(12zzdQdt位能增加：（c）1、方程的导出5dQdtppdtudApdtudAp)(21222111压力做功：（a）)22()22(21222122gugudQdtuugdQdt动能增加：（b）)(12zzdQdt位能增加：（c）)22()()(21221221gugudQdtzzdQdtdQdtppdQguzpdQguzp)2()2(22222111总能量方程式6dQguzpdQguzp)2()2(22222111两边除以γdQguzpguzp22222221113-27单位时间内γdQ重量流体的能量平衡方程单位时间内、单位重量流体的能量平衡方程理想不可压缩流体恒定元流能量方程——伯努利方程任意断面有：常数guzp223-277任意断面有：常数guzp223-27压强水头位置水头流速水头测压管水头总水头各断面总水头相等单位总能量保持不变位能、压能、动能、机械能•单位液重的机械能沿流可以相互转化，但总量保持不变。2、方程的分析•能量方程说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变•特例：静止液体2211pzpz2理想液体元流能量方程各项意义gupzgupz22222221111、力学意义：体现了动能定律，运动液体中功和能的转化2、能量守恒：比位能、比压能、比动能3、几何意义：位置高度、压强高度、流速高度4、水力学意义：位置水头、压强水头、流速水头；水头线图（P-52,3-9C，四条基本线—零水头线、位置水头线、测压管水头线、总水头线）10实际流体比理想流体多了粘性阻力引起的能量损失：guzpguzp22222221113-272122222111'22hguzpguzp3-283、实际流体单位能量损失或水头损失•如将1－1、2－2断面间的机械能损失以hw’表示，则得出实际液体元流机械能平衡方程式（3-28）：•各断面的机械能可以转换，但总机械能沿程减少。•水力坡度、测管坡度'2222211122whgupzgupz恒定总流能量方程的图示•理想液体不存在水头损失，故其总水头线为一水平线；•实际液体的总水头线为一单调下降的空间曲线；测压管水头线和位置水头线，根据具体情况而定，可为升降曲线或直线。whgvpZgvpZ22222222111113H1Hp1Z11pZ22pHp2H2ga2211ga222221lh总水头线测压管水头线gpZHhHH222121沿程损失使总水头线表现为水平直线，局部损失会出现一垂直下降水流轴线•对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的概念。其定义为：•式中dH为微分流段的总水头差。•水力坡度（比降）表示单位流程的水头损失，由于dH=H2－H1为负值，故在式前加负号使Ｊ为正值。dsdhdsdHJw15常数guzp22guppba202bappgu2VbahppVghu2测液体时——实验校正流速系数。5、伯努利方程的应用—毕托管测速第五节恒定总流能量方程式16总流能量方程由元流能量方程在两个断面的积分得到：dQhdQguzpdQguzpAAA2122222111')2()2(221渐变流中某一流段上式具有三种积分类型，下面分别讨论：•第一类积分：•只有在所取断面上水流为均匀流或渐变流时，则在过水断面上z+p/γ为常数，积分才有可能。•所以QpzdQpzudApzA)()()(dQpzudApzA)()(•第二类积分：•它为每秒钟通过过水断面A的液体动能的总和。由于流速u分布复杂，无法积分，故采用断面平均流速v来代替u，由于u的立方和大于v的立方和，即：AdAugudAgu3222AdAvdAuA33＞•故不能直接把动能积分符号内的u换成v，而应乘以修正系数α才能使之相等。即：••式中，称为动能修正系数，其值取决于过水断面流速分布，分布越均匀，α值越接近于1，在渐变流时，一般取为α＝1.05~1.10，为计算方便，常取为α≈1.0133＞AvdAuAvdAvdAu333•第三类积分•引入单位液重平均机械能损失hw的概念，即：••则：QwdQh'QdQhhQww'QhdQhwQw'21dQhdQguzpdQguzpAAA2122222111')2()2(221将以上7项，按能量性质积分：一、势能积分QzpdQzpdQzpAA)()()(22222222二、动能积分dAugdAgudQguAAQ332222用断面平均流速v代替u，有：QgvdAvgdAugAA222211131131QgvdAvgdAugAA2222222322232(a)22dQhdQguzpdQguzpAAA2122222111')2()2(221将以上7项，按能量性质积分：三、能量损失积分QhdQhlQl21'21)将以上积分带入（a）：(a)QhQgvpZQgvpZl212222221111)2()2(gvpZH22设：QhQHQHl2121单位重量流体：21222222111122lhgvpZgvpZ(3-37)参量说明：Z1、Z2—选定的1、2渐变流断面上任一点相对于选定基准面的高程；p1、p2—相应断面同一选定点的压强，同时用相对压强或绝对压强；v1、v2—相应断面的平均流速；α1、α2—相应断面的动能修正系数；hl1-2—两段面间的平均单位水头损失(分为沿程和局部水头损失）。23总流伯努利方程的适用性说明：（一）适用于恒定流，可以推广到流速变化慢的流动；（二）适用于不可压缩流体，可以推广到所有液体和低压气体；（三）断面应选在渐变流，流速小、惯性力影响小的急变流；（四）两断面间有能量输入和输出时，形式如下：（五）有分流或合流时，单位重量能量方程形式不变；（六）p和Z的取值位置应相同。24能量输入：21222222111122lihgvpZHgvpZ(3-38)能量输出：210222222111122lhHgvpZgvpZ水力学、能量意义•由于伯努利方程各项均为长度量纲，故可用高度表示其各项值的大小，称为水头。•Z—位置水头（以基准面0—0为基准）、比位能•p/r—压强水头、比压能•hw—水头损失•z+p/r—测压管水头•称为总水头gvpZH22•利用能量方程解决工程实际问题，主要有求流速、求压强•求解步骤：1分析流动，看是否满足应用条件2划分计算断面，压强或压差已知的渐变流断面3选择基准面，Z值最简原则，（已知条件多，未知量少，简化计算）4列出断面Z、P、V26应用条件（P-60）1.恒定流2.不可压缩流体ρ=恒3.所取断面—渐变流、均匀流4.两个计算断面之间没有机械能的输入或输出5.两个计算断面之间没有流量的汇入和分出6.相对于同一基准面7.方程中的压强两端必须一致，一般采用相对压强8.代表点选取：管流—管的中心点明渠流—自由表面上的点9．通常与连续性方程联立求解例题3-3,4（P-61）例题：水流由水箱经前后相接的两管流出大气中。大小管断面的比例为2：1.全部水头损失的计算式参见下图。（1）求出口流速v2；（2）绘总水头线和测压管水头线；（3）根据水头线求M点的压强pM。30M11208.2m1m0▽2入口损失g25.021大小能头损失g21.022沿程损失g25.321沿程损失g222231（1）求流速，选取1，2两断面，基准面过管轴出口21222222111221lhgapZgapZ0,0,0,0,2.822111ZppmZ2122200002.8lhggggghl2225.321.025.0222122212112212,1:2:AAmgmg22,5.022221已知条件32（2）绘制总水头线M11208.2m1m0▽21-1断面有入口损失mg25.025.021B处大小能头损失mg2.021.022从A到B沿程损失mg75.125.321B到C沿程损失mg42222mgmg22,5.022221aABbCcb010.25m1.75ma0.2m4mbb0c033（2）绘制测压管水头线M11208.2m1m▽ABbcmgmg22,5.022221b0a‘b‘b0‘c‘b’和b0’之间的局部损失是多少？(1)=b-b0?(2)B点处压强波动显著测压管水头线不涉及水头损失•文丘里流量计，是一段渐缩管、一段喉管和一段渐扩管前后相连组成的。将它连接在主管中，当主管水流通过此流量计时，由于喉管断面缩小，流速增加，压强相应降低，用差压计测定压强水头的变化Δh，即可计算出流速和流量。（P-59）34112200p1p2Δh11,d22,d35gpgp2020222211取1,2两渐变流断面，写出理想流体能量方程，沿程损失忽略hggpp222122212211222221144dddd应用连续性方程联立速度1244,12421212114211ddhgddQddhgChChCQhK•作业P-687，8,9，11，13