高中物理的最值问题

高中物理的最值问题字体大小：大|中|小2011-10-2602:10阅读(1513)评论(0)分类：物理学习方法汇总历年来的物理高考题中都有考察学生利用数学方法和物理规律来解决物理过程中存在的最大值与最小值的问题。如何提高学生解决这类问题的能力，笔者认为在高三复习中进行物理学的最值问题专题复习是一种有效的途径。物理学的各个领域存在大量形形色色的最值问题，这些问题大致可分为两类：一是数学最值问题，需要应用有关的数学方法求解；二是物理最值问题，需要应用有关物理规律，根据问题中的物理条件来求解物理最值问题。一．用数学方法求最值问题1．利用y=ax2+bx+c的性质（1）a0时，当时，y有最小值。（2）a0时，当时，y有最大值。例1：如图一所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R。在水平轨道上，停着质量为M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01kg的子弹，以v0=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道的最高点水平抛出。试分析：当半圆的R多大时，平抛的水平位移最大，且最大值是多少？解：由动量守恒定理得mv0=(m+M)v1得v1=14m./s由碰撞到最高点得过程中机械能守恒得所以平抛的水平位移为s=v2t=×=设y=—R2+0.4+C所以当=0.2时y有最大值。所以当R=0.2m时，水平位移的最大值为s===0.8m2．利用分式性质（1）分子一定时，分母最小时，分式具有最大值。（2）分母一定时，分子最小时，分式具有最小值。例2．如图二所示，R0为定值电阻，可变电阻的总阻值为R，电流表内阻不计，电池的电动势为E，内阻为r，试分析电流表的示数的变化范围？解：可以把变阻器看作是两段，即并联部分Rpa和串联部分Rpb=R—Rpa，如图二所示根据并联电路的特性可知：根据全电路的欧姆定律得，所以根据上式，当Rpa=0时，分母有最小值，故电流有最大值当Rpa=时，分母有最大值，故电流有最小值所以电流表的读书范围为3．利用三角函数（1）如果，当=00时，sin=0有极小值，cos=1有最大值；当=900时，sin=1有最大值，cos=0有最小值。（2）在方程y=asin+bcos中，当+=900时y有最大值；当+=0时y有最小值=0。例3．在设计屋顶时，为了使雨水尽快地流下，屋顶与水平面的夹角应该是多少度？分别考虑屋顶无摩擦和有摩擦两种情况。可把雨滴在屋顶的运动看作是初速度为零的匀加速直线运动。解：（1）无摩擦时，雨滴的加速度为a=gsin由位移公式得雨滴下滑的时间为当时，t有最小值,所以时，最短时间tmin=(2)有摩擦时，雨滴的加速度为a=（sin雨滴下滑的时间为，设上式可变为t=所以当=900，即时，t有最小值其实无摩擦只是有摩擦的一种特例，当无摩擦时，由上两式得时，最短时间为tmin=。4．利用定和求积与定积求和原理（1）如果x1+x2=k，当x1=x2=时，x1和x2的积有最大值。（2）如果x1x2=p，当x1=x2=时，x1和x2的和有最小值。例4．在电源电动势E、内阻r一定的情况下，负载电阻R取何值时，电源输出功率最大？解：负载上获得的功率为在上式中，由于，由定和求积得，当两项相等时，两者乘积最大，由此得R=r时有最大输出功率二．用物理方法求最值问题1．利用自由弦运动的等时性在弦光滑的前提下，从竖直圆环上沿不同的弦运动到圆环最低点的时间相同。从竖直圆环最高点沿不同的弦运动到圆周上的时间也都相同，都等于从竖直圆环最高点到圆环最低点做自由落体运动的时间，式中d为圆环的直径，此运动规律称为自由弦运动的等时性。例5．如图三所示，一个质点自倾角为a的斜面上方定点A，沿光滑斜槽从静止开始下滑，为了使质点在最短时间内到达斜面，求斜槽与竖直方向的夹角应等于多少？图三图四解：以A点为最高点，以AO线为直径的位置作一个与斜面相切的圆，如图四所示（作图相关的辅助线以略去）。有自由弦运动的等时性可知质点沿AB、AB1、AB2三条光滑斜槽从A点滑到圆周上的时间是相等的，同时也说明只有沿AB滑槽才能使质点在最短时间内到达斜面。由几何知识可知斜槽与竖直方向的夹角=。2．利用图象方法（1）运动图象：利用s—t、v—t、a—t图象的特点来计算涉及运动的最值问题。（2）矢量三角形图象：利用力活速度的合成特点画出对应的矢量三角形，通过三角形的特点来计算相关的最值问题。例6．一个物体由静止开始从M点出发，沿直线运动到N停下。在这段时间内，物体可以做匀速运动，也可以做加速度为a的匀变速运动。为了使运动时间最短，试分析物体应如何运动？解：如图五所示，图中0At1的面积表示M到N的位移，0A表示以加速度a做匀加速直线运动，At1以加速度a做减速运动梯形0BCt2表示中间有一段做匀速直线运动，由于位移一样，即梯形0BCt2的面积等于0At1的面积，所以时间t2t1。由此可判断出物体以加速度a做匀加速直线运动通过一半路程后，再以加速度a做减速运动通过另一半路程的运动所有的时间最短。例7．物体与水平地面间的动摩擦因数为，用和水平面夹角为的力F拉物体，使物体在水平面上做匀速直线运动。问角多大时拉力F有最小值？解：由受力分析可知，物体受到的摩擦力f和支持力N的施力物体都是水平地面，所以可等效为水平地面对物体只有一个力P的作用，这个力P就是摩擦力f和支持力N的合力（如图六所示），=，因为一定，即角一定，合力P的方向也一定；然后根据在三个共点力的作用下物体平衡，则三个共点力组成闭合矢量三角形；重力G大小和方向都一定，合力P的方向也一定，要想F最小，即要求F与P垂直，有；所以有时，力F有最小值。3．利用最大输出功率利用负载电阻R等于电源内阻r时，电动势为E的电源有最大输出功率的电学规律来解决涉及到电源输出功率的最值问题。例8．如图七所示，平行金属导轨相距l=0.2m，E=6V，内阻不计，R=10，均匀磁场方向垂直纸面。金属棒在安培力作用下由静止开始向左滑行，摩擦力f=0.1N。为使金属棒有最大速度vm，磁感应强度B应为多大？最大速度度vm是多少？(P122)解：将E与R看成为内电路，则当外电阻等于内阻时，电源输出功率最大有当金属棒速度达最大值时，输出功率Pm全部用来克服摩擦力做功=fvm所以有vm===9m/s在此电路中，路端电压即为感应电动势，当内阻等于外电阻时，此路端电压等于电源电动势的一半，所以有即==1.66T4．利用a=0时，v有最大值物体在做加速度逐渐减小的变加速直线运动时，当加速度减小到a=0时，速度v有最大值。在电磁感应与力学综合的题目中，常利用这种方法来计算切割磁感线的金属棒的最大速度。、例9．如图八所示，均匀电场与磁场均水平方向且垂直相互正交。一长直绝缘棒竖直立于场中，棒上套一小环，质量为m=0.1g，带正电q=4×10-4C，环可沿棒自由移动，两者之间摩擦因数为=0.1，且E=10N/C，B=0.5T。求（1）当小环加速度为最大时，其速度是多少？（2）小环最大速度是多少？解：（1）小环在沿棒方向受重力mg和摩擦力，所以当电场力与洛仑兹力抵消时，即时，摩擦力等于零，小环加速度最大为amax=g（2）随着速度增大，洛仑兹力增大，摩擦力也增大，加速度逐渐减少。当加速度为零时，即这时小环速度达到最大值==69（m/s）附：同步练习题1．一个质量为m的物体，动能为Ek，与一个质量为M的静止物体发生弹性正碰。请分析在什么条件下，m传给M的动能最大和最小？且最小值和最大值各是多少？2．如图九所示，将质量为M的小车沿倾角为a、摩擦因数为的斜坡匀速拉上，求拉力与斜面夹角多大时，拉力最小？3．如图十所示，一个容器中盛有高度为H的水。在水面下h深处的器壁上，开一个小孔。求水喷出的最大射程和应满足的条件各是多少？4．如图十一所示，在光滑的金属框架与水平成=300角，匀强磁场的磁感应强度为0.5T，方向与框架平面垂直向上，金属导线ab长为0.1m，质量为0.01kg，具有的电阻为0.1，其余电阻不计，则金属导线ab在框架上下滑的最大速度为多少？5．如图十二所示，长为l=20cm的绝缘轻绳的一端系住一个带正电的小球，另一端固定于突出的钉子上，小球的电量q=4×10-2C，质量m=200g，当绳子与竖直线成300夹角时，加上匀强电场后小球能保持静止。现取满足小球静止的最小的场强E，当使小球的电量突然增大1倍时，求：（1）小球动能最大时，绳子与竖直线所成夹角。（2）小球运动轨迹中的最大电势差。（不计空气阻力，取g=10m/s2）参考答案：1、当m=M时，传递动能有最大值为Ek；当mM或m时，拉力有最小值3、当时，有最大射程Xmax=H4、1.96m/s5、（1）=600（2）4.33V。