1初等变换初等矩阵的概念

1第三章a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm2§3.1、矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换)3(2822)2(12)1(2432321321321xxxxxxxxx引例14243212321321321xxxxxxxxx(3)21(2)(1)0302123232321xxxxxxx(1)-(3)(1)2(2)282211212432解方程组:14112432112132121rrr增广矩阵03100210112113122rrrr30021533231xxxxx(2)(3)(2)2(1)001321xxx(3)1-(3)(2)(3)5(1)201000210150123212rrrr01000010100133231125rrrrr解方程的三种变换:1)互换两个方程的位置；2)用一个非零数乘某一个方程；3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去．4注：上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算.5【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:(1)对调两行(列)(对调i与j两行(例)记为)jirr)(jicc(3)把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为).jikrr)(jikcc注1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。2）矩阵的初等变换是可逆的，而且是同型的；jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或irk)(ick(2)以数乘第i行(列)的所有元素(记为)0k6如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价，记做A~B。等价矩阵等价矩阵之间的性质CACBBAABBAAA~,~,~)3(~,~)2(~)1(则若传递性则若对称性反身性如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价，记做A~B。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记做A~B。7000000310000802310200101C形如:,000000340000425810252013,600005210010123BA的矩阵称为行阶梯矩阵.特点1）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方；2）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到下严格递增。具有特点1）~3）的行阶梯矩阵称为行最简矩阵3）各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所在的列除此元素外，其余元素均为零。一个矩阵经过初等行变换可以化成行阶梯矩阵和行最简矩阵。800000030010083201021000153cc例1用初等变换化简矩阵241286461062310512013954323A620000106231044231095432312142rrrr62000062000044231095432323rr000000620000442310954323342)1(rrr000000310000442310330303321212rrr000000310000802310110101321431rrr00000031000080231020010131rr000000000100000010000001列变换矩阵A的标准型注:1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵；2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；.000,0,04的特殊情况都是、rrrrEEEEOOOEr3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型。行阶梯型行最简型注意！！9例2设032203120A化成行最简形把)E,A(解100010001032203120E,A103002010104901202036004019101001202032332123rrrrr~29323rrr~6612449981810002000331322rrrr~6344239461000100013212r)(r~100010001032203120E,A11例2设032203120A化成行最简形把)E,A(解100010001032203120E,A634423946100010001行变换与A有什么关系呢12若把矩阵(A，E)的行最简形记作(E，X)，则E应是A的行最简形，即；并可验证AX=E，即X=A-1.下节我们将证明，对任何方阵A，的充分必要条件是A可逆，且当A可逆时，),(~),(1AEEArEAr~EAr~13【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.如对三阶单位矩阵E施行三种初等变换得到的三种初等矩阵为：E23=E3(k)=E12(k)=010100001k0001000110001001k初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k),其中Eij:交换单位矩阵E的第i，j行,得到的初等矩阵。Ei(k)：单位矩阵E的第i行的元素乘以数k,得到的初等矩阵。Eij(k)：单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行,得到的初等矩阵。对单位阵经一次初等行变换与经一次列变换，得到的初等矩阵相同吗？(列)(列)(第i列)(第j列)2、初等矩阵的概念141）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:)()(;0)1()(;111kkkkkijijiiijijEEEEEE)()();()(;kkkkjiTijiTiijTijEEEEEE2）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：3）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.行变换：BAjirrBAkEi)(BAkriBAEijBAjikrrBAkEij)(列变换：BAjiccBkAEi)(BAkciBAEijBAijkccBkAEij)(初等矩阵的性质：153433323124232221141312112310010001aaaaaaaaaaaakAkE`)(BA32rkr如：CakaaaaakaaaaakaaaakAE3432333231242223`2221141213121123)(Baaaakaakaakaakaaaaaa343332313424332332`22312114131211CAckc2316A=P1P2…Pk.【证】充分性:设有初等阵P1，P2，…,Pk,使A=P1P2…Pk.即A=P1P2…Pk,【定理2】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。,FA的标准型为设,P,,P,Pl21即存在有限个初等方阵APFPPPPlrr121经有限次初等故F必要性,A变换可变为使nnroooEF设，因A可逆，可逆lP,,P,P21所以F也可逆，由，0FnEFnr，即知17小结1.初等行(列)变换;1jijiccrr;2kckrii.3jijikcckrr初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质;1反身性;2对称性.3传递性2.A初等变换B.~BA4.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换18)4,1(178P作业19内容回顾1、矩阵的初等变换(1)对调两行(列)(对调i与j两行(例)记为)jirr)(jicc(3)把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为).jikrr)(jikccirk)(ick(2)以数乘第i行(列)的所有元素(记为)0k等价矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记做A~B。由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.Eij:交换单位矩阵E的第i，j行,得到的初等矩阵。Eij(k)：单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行,得到的初等矩阵。(列)(列)(第i列)(第j列)Ei(k)：单位矩阵E的第i行的元素乘以数k,得到的初等矩阵。2、初等矩阵的概念20A=P1P2…Pk.【定理2】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:)()(;0)1()(;111kkkkkijijiiijijEEEEEE)()();()(;kkkkjiTijiTiijTijEEEEEE2）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：3）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.初等矩阵的性质：21【推论2】设A是可逆矩阵,则A可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.【推论1】两个型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.nm这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.注：矩阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵E等价.【证推论2】因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2存在初等阵P1,P2,…,Ps,使A-1=P1P2…Ps于是有A-1A=P1,P2,…,PsA=EEAr~即22设A可逆，则存在有限个初等矩阵使,,,,21lPPPlPPPA211111PPAlkkQP1设BABQQEAQQll111),(),(11BAEBAQQlEB),(),(11AEEAQQl1,,AEEA行变换下面我们来证明前面留下的一个结论：BAEBA1,,行变换BAXBAX1求逆矩阵23例1设,343122321A求A－1.解：100343010122001321)(EAr2－2r1r3－3r11036200125200013212