解析几何竞赛题选

解析几何培训试题选一、在仿射坐标系中,求过点M0(0,0,−2)与平面1:3210xyzπ−+−=平行且与直线113:421xyl−−==−z相交的直线l的方程.二、过x轴和y轴分别做动平面,交角α是常数,求交线轨迹的方程,并且证明它是一个锥面.121122122212222222200,,000,0.1,cos,11()()cosyxzzuuyuzxuzuuzyzxxyλλλλαα==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩+=+===++++=解：设二直线为：过二直线的平面束为不妨设=则代入化简得：为齐次方程。三、在直角坐标系中,球面的方程为:222(1)(1)xyz4−+++=求所有与向量u(1,1,1)平行的球面的切线所构成的曲面的方程.四、在仿射坐标系中,已知直线l1,l2的方程分别是:135107,231541xyzxy+−−+====z(1)判断直线l1与l2的位置关系,要求写出理由;(2)设直线l的一个方向向量为并且l与l1和l2都相交,求直线l的方程.(8,7,1)v五、(1)在直角坐标系中,一个柱面的准线方程为40xyz=⎧⎨=⎩.母线方向为(1,−1,1,),求这个柱面的方程.(2)在平面直角坐标系Oxy中,二次曲线S的方程为x2−3xy+y2+10x−10y+21=0,求I1,I2,I3;指出这是什么二次曲线,并且确定其形状.六、在空间直角坐标系中,1121,123212xayzxyzll−−====−−：：是一对相交直线.(1)求a.(2)求l2绕l1旋转出的曲面的方程.七、求经过x轴且与单叶双曲面22214xyz+−=的交线Γ为圆的平面π的方程.八、证明四面体的每一个顶点到对面重心的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的3倍.九、一条直线分别交坐标面yoz,zox,xoy于三点A,B,C.当直线变动时,直线上三定点A,B,C也分别在三个坐标面上变动.另外,直线上有第四点P,它与A,B,C的距离分别为a,b,c(,当直线按照这样的规定变动,试求P点的轨迹.AP'PE0)abc≠十、在一个仿射坐标系中,已知直线l1有一般方程70260xyzxy−++=⎧⎨−−=⎩l2经过点(1,1,2)M=−,平行于向量(1,2,3)u=−，试判别它们的位置关系.十一、平面Ax+By+Cz+D＝0与单叶双曲面2221xyz+−=的交线是两条直线,求证:2222ABCD+=+.OBFCDabc2十二、直线l1过点,与(1,1,1)20:30xyzlxyz++=⎧⎨−−=⎩相交,交角为3π,求l1的方程.十三、证明球面与球面222(1)(1)(2)4xyz−+−+−=222(1)(3)9xyz++−+=有交点,并求出交圆的圆心坐标.,,,ABCABaACbPAPABCΔ==Δ十四、已知，外心为求及外接圆半径。,,.()()()()LMNMNlNLmLMnlmnRlmnlmnlmnmnlΔ===+++−−++−十五、设的三边长为，证明：外接圆半径为=22222,,.2.,.sinsin2sin2sin.2sin,2sin.222cos2sinsin()sin()22222sincoscossin11.2222242414CMCNNCLLCMMCNlRRlRmRnRnRlmmlRRRRmnlαβγαβγππααααβγαγαβαβπαβαβ=∠=∠=∠++=Δ=−====+==−=+=+=−+−=−证明：设外接圆圆心为,令应用正弦定理于同理所以2221,4lmRR+−两边平方得解之即得证。1,,,,,,ABCEFGBCCAABAERBFBFSCGCGTAERSTΔΔ十六、的面积为，点分别在边上，于点处平分于点处平分，于点处平分求的面积。LMNlmnCABCPabcdefβαγCFSTERBAG3,,,11()22121(())222.BExBCCFyCAAGaABARABBRABBFABBCyCAyyABBCyABBCABBCAEABxBCARAEx====+=+=++−−=+−+=+=+解：设因与平行，则1113.,.22221111()(2222111122222yzxyzxyzyzxTRARATABBFAEABBCyCAABxBCyxyxxABBCABBC−−−−======−−−=−=+−=++−+−−−−−=+=+由对称性得解之得5.)11212.2222xxxxRSBCCAABBC−−−=+=−+由对称性得2113317.242RSTxxSTRRSABBCΔ−+−=×=×=354十七、求二球面的公切锥面方程。2222229,(5)1xyzxyz++=−++=十八、求椭球面2221(2,1,1)25169xyzA++=−被点所平分的弦。十九、2221(2,1,2)9164xyzv++=求椭球面的平行于矢量的弦的中点的轨迹。二十、222xyz−=求双曲抛物面的互相垂直的两条直母线交点的轨迹。二十一、()(2)6(1,1,1)xyzxyzzM+++−=求曲面上过点的直母线方程。22、2222221xyzabc+−=求单叶双曲面：的三个互相垂直的切平面交点的轨迹。23.[预赛试题]（15分）求经过三平行直线1:Lxyz==，，的圆柱面的方程.2:1Lxyz−==+11(1,1,1)n=3:1Lxyz=+=−解：先求圆柱面的轴的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是，且圆柱面经过点，过点且垂直于0L(1,1,1)n=(0,0,0)O(0,0,0)O4的平面π的方程为：.0xyz++=π与三已知直线的交点分别为(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)OPQ−−圆柱面的轴是到这三点等距离的点的轨迹，即0L，222222xyzxyz++++2222(1)(1)(1)(1)xyzxyz⎧=−+++⎪⎨=+++−⎪⎩22即11xzyz−=⎧⎨−=−⎩，将的方程改为标准方程0L11xyz=+=.−xy==z和11xyz−=+=之间的距离.0(1,1,0)P−圆柱面的半径即为平行直线为上的点.0L对圆柱面上任意一点，有(,,Sxy)z0|||||||nPSnPOnn××=0|，即，221)(2)zxy−+−+−++=260(1)(yzx−+−222xyzx++−−6abc×=i所以，所求圆柱面的方程为：.33yxzyzxy−−+=24.[决赛试题](2分)设()，则[()()]()abbcac+×++i=___12________.25.[决赛试题]（13分）已知两直线的方程：:Lxyz==，':11xyzbLa−==。（1）问：参数满足什么条件时，与是异面直线？（2）当与'不重合时，求'绕旋转所生成的旋转面,abL'LLLLLπ的方程，并指出曲面π的类型。解：（1）的方向向量分别为,'LL(1,1,1),'(1,,1)nn==a。分别取上的点。L与是异面直线当且仅当矢量不共面，即，它们的混合积不为零：,'LL(0,0,0),(0,0,OP)b'L,',nnOP5111(,',)11(1)000nnOPaabb==−≠，所以，与'是异面直线当且仅当LL1a≠且0b≠。（2）假设是(,,)Pxyzπ上任一点，于是必定是'上一点绕旋转所生成的。由于与垂直，所以，PL'(',',')PxyzL'PPL(')(')(')xxyyzz−+−+−=0①又由于在上，所以，'P'L'''11xyzab−==，②因为经过坐标原点，所以，'到原点的距离相等，故，L,PP22222''2'xyzxyz++=++，③将①，②，③联立，消去其中的',','xyz：令'''11xyzbta−===，将',','xyz用t表示：',','xtyatztb===+，④将④代入①，得(2)atxyz+=++−b，⑤当，即与不垂直时，解得2a≠−L'L1(2txyza)b=++−+，据此，再将④代入③，得到π的方程：222222222()()(2)2abxyzxyzbxyzbbaa+++−++−−++−−=++0，当时，由⑤得，2a=−xyzb++=，这表明，π在这个平面上。同时，将④代入③，有22222215626()662xyztbtbtbb++=++=++。由于可以是任意的，所以，这时，tπ的方程为：222562xyzbxyzb++=⎧⎪⎨++≥⎪⎩，π的类型：且时，与'平行，1a=0b≠LLπ是一柱面；1a≠且0b=时，与'相交，LLπ是一锥面（时2a=−π是平面）；当1a≠且0b≠时，π是单叶双曲面（时，2a=−π是6去掉一个圆盘后的平面）。2009解析几何试题121222221111111.:,:,,.00yzxzlllldbcacdabcxy⎧⎧+=−=⎪⎪=++⎨⎨⎪⎪==⎩⎩设直线设与的距离为2证明：122221222222222210.1111(,0,)(0,1,0)(,0,).1,.(,0,0),21111(2),.111yzlxbclvaccallMaMalldddabcabcπλπλπ++−==−×==−=⇒=++++证明：过的平面束方程为:直线的方向向量为若平行于则在直线上取点则到平面的距离即为与的距离2，即22222.1xyab+=求椭圆的两条垂直相交的切线交点的轨迹方程。220022002210022220042422222222221(,)1,:cossin01cossin,,.cossincossin1,cossin.(xyxyabxxyyablxypxyabaaxypppabapbppabxαααααααααα+=+=+−===⇒==+=∴=+解：因为切椭圆于点的切线为而直线成为切线的充要条件为代入椭圆方程为直线成为椭圆切线的充要条件为将其带入到直线方程得：22222cossin)cossin.(*)yabαααα+=[phone]:cos()sin()'0.22'cos()sin()22llxyplpabππαα.ππαα+++−==+++同理可得与直线垂直的直线为成为切线的充要条件为7222222:(cos()sin())cos()sin(222lxyab).2πππααααπ∴+++=+++2222222222:(cossin)cossin.(*).lxyabxyabαααα⇒−+=++=+与式联立消去参数得：α22222223.01AxByCzDxyzABCD+++=+−=+=+平面与单叶双曲面的交线是两条直线，证明：(1)0:,()11(1)0,(1)()()()0,0111,,,,xzuyxuyzuluxzyuxyuzlxuyzuauxyuzauxauyaauzauAXBYCZDauauauauABCDtAtatuBatutCtaut.0+=+−+−=⎧⎧⇒⎨⎨−=−+−−=⎩⎩−+−++−−=⇒++−+−−+=+++=+−−−−====⇒=+=−=−证明：不妨设两族直母线为过的平面束方程为与平面方程比较得2222222222.2,2,2,2.()()4,()()4,.DatutACtACatuBDutBDatACACatuBDBDatuACDBABCD=−−+=−=+=−−=+−=+−=−−=−⇒+=+即22224.26102(2,2).(1)(2)xxyyxxyxyM+−+−=−−−=−设一条二次曲线通过两条二次曲线与的交点，并且还通过点求此二次曲线方程；求此二次曲线的主方向。0222222221212261)(2)(2,2):4:3.24527340.22(2),2501,6,21,(12)TTxxyyxxyxyMxxyyxyIIEλμλμλλλξξ0.+−+−+−−−=−=−−+−−+=−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦−=====−解：(1)设二次曲线为：(代入点得即二次曲线为由得特征值对应的两正交特征向量（，），即为相应的主方向。82010解析几何试题1261841.::321322:2350xyzxyzllxyπ−−−+====−+−=求与两直线和相交，且与平面平行的直线轨迹方程。122312023240:,:.220402312(22)0:(*)2324(4)02(3)22120:2(3)2440(363,