第21讲-梯形

第21讲梯形第21讲┃梯形考点1梯形┃考点自主梳理与热身反馈┃1．梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是()A．4∶6∶2∶8B．2∶4∶6∶8C．4∶2∶8∶6D．8∶4∶2∶6A[归纳总结]1．一组对边________，另一组对边不平行的四边形叫作梯形．2．梯形的面积：S＝12(a＋b)·h(a，b，h分别表示上底，下底和高)．平行第21讲┃梯形考点2等腰梯形的性质和判定1．如图21－1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝80°，则∠D的度数是()A．120°B．110°C．100°D．80°图21－1C第21讲┃梯形2．如图21－2所示，在等腰梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形的对数为()A．1对B．2对C．3对D．4对图21－2C第21讲┃梯形相等一[归纳总结]相等第21讲┃梯形相等性质性质定理等腰梯形同一底上的两底角________；等腰梯形的对角线________.轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它有________条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴判定判定方法(1)定义法；(2)同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形判定步骤(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形考点3梯形中辅助线的作法1．如图21－3，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为()A．19B．20C．21D．22图21－3D第21讲┃梯形2．如图21－4，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝________cm.图21－42[解析]过点D作腰BC的平行线交AB于E，构造平行四边形和直角三角形，用勾股定理求AE的长，就可以通过BE求CD的长．第21讲┃梯形[归纳总结]辅助线添加方法及目的图形平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个________三角形直角第21讲┃梯形辅助线添加方法及目的图形平移对角线移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形来研究梯形延长两腰延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的________三角形连接中点并延长连接梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线相交，可将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到同一直线上等腰第21讲┃梯形┃考向互动探究与方法归纳┃探究一转化思想在梯形中的应用例1如图21－5，梯形ABCD中，AB∥CD，CE，BE分别平分∠DCB和∠ABC，E为AD的中点．求证：AB＋CD＝BC.图21－5第21讲┃梯形[解析]要证明AB＋CD＝BC，可以利用E为AD的中点，延长CE与BA的延长线交于F，△DCE≌△AFE，得到CD＝FA，再证明BC＝BF即可．第21讲┃梯形证明：延长CE与BA的延长线交于F，显然△DCE≌△AFE，∴CD＝FA，CE＝FE.又∵BE，CE分别平分∠ABC和∠DCB，∠BCD＋∠CBA＝180°，∴∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∴BE是线段CF的垂直平分线，∴BC＝BF＝BA＋AF＝AB＋CD，∴AB＋CD＝BC.第21讲┃梯形[中考点金]利用转化思想作梯形的辅助线，通常作高、平移腰、平移对角线、延长两腰及连接一顶点和梯形腰的中点并延长，将梯形转化为三角形或平行四边形的问题解决．第21讲┃梯形变式题如图21－6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E.求DE的长．图21－6第21讲┃梯形解：过点D作DF∥AC，交BC的延长线于F点，则四边形ACFD为平行四边形，∴AC＝DF，AD＝CF.∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝DB，∴BD＝FD.∵DE⊥BC，∴BE＝EF＝12BF＝12(BC＋CF)＝12(BC＋AD)＝12×10＝5.又∵AC∥DF，BD⊥AC，∴BD⊥DF.∵BE＝FE，∴DE＝BE＝EF＝5，即DE的长为5.第21讲┃梯形例2如图21－7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE，DE，求证：AE＝DE.图21－7探究二等腰梯形的性质的应用第21讲┃梯形[解析]先利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得AE＝DE.第21讲┃梯形证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C.∵E是BC的中点∴BE＝EC.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝EC，∴△ABE≌△DCE，∴AE＝DE.第21讲┃梯形[中考点金]等腰梯形常转化为等腰三角形，然后利用等腰三角形或全等三角形等知识解决问题．第21讲┃梯形变式题如图21－8，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，点E，F在BC上，且BE＝CF，连接DE，AF.求证：DE＝AF.图21－8第21讲┃梯形证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝FC＋EF，即BF＝CE.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠B＝∠C，在△DCE和△ABF中，DC＝AB，∠C＝∠B，CE＝BF，∴△DCE≌△ABF(SAS)．∴DE＝AF.第21讲┃梯形┃考题自主训练与名师预测┃1．下列命题中，真命题是()A．一组对边平行的四边形是梯形B．等腰梯形的对边相等C．对角线相等的四边形是等腰梯形D．等腰梯形的同一底上的两个底角相等D第21讲┃梯形2．如图21－9，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，BC＝AC，∠BAD＝100°，则∠D＝()图21－9A．140°B．130°C．110°D．100°A第21讲┃梯形[解析]根据平行线的性质求出∠B，根据等腰三角形性质求出∠CAB，推出∠DAC，求出∠DCA，根据三角形的内角和定理即可求出∠D.3．[2013·十堰]如图21－10，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，AD＝5，∠C＝60°，则下底BC的长为()A．8B．9C．10D．11图21－10A第21讲┃梯形[解析]过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E.∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，AD＝5，∠C＝60°，∴∠B＝60°，BF＝EC，AD＝EF＝5，∴cos60°＝BFAB＝BF3＝12，解得BF＝1.5，故EC＝1.5，∴BC＝1.5＋1.5＋5＝8.故选A.第21讲┃梯形4．[2013·上海]如图21－11，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是()A．∠BDC＝∠BCDB．∠ABC＝∠DABC．∠ADB＝∠DACD．∠AOB＝∠BOC图21－11C第21讲┃梯形[解析]选项A中，∵∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；选项B中，根据∠ABC＝∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；选项C中，∵∠ADB＝∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DAC＝∠DBC＝∠ACB，∴OA＝OD，OB＝OC，∴AC＝BD.∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；选项D中，根据∠AOB＝∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C.第21讲┃梯形5．[2013·长沙]如图21－12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AE∥CD交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是________．图21－123第21讲┃梯形[解析]∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC＝2，CD＝AE.∵AD＝2，BC＝5，∴BE＝BC－EC＝5－2＝3.∵AE∥CD，∠C＝80°，∴∠AEB＝∠C＝80°，在△ABE中，∠BAE＝180°－∠B－∠AEB＝180°－50°－80°＝50°，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝3，∴CD＝3.故答案为3.第21讲┃梯形6．如图21－13，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为_______．图21－1328第21讲┃梯形[解析]∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，∴四边形BGEF是平行四边形．∵BE平分∠ABC且交CD于E，∴∠FBE＝∠EBC.∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠FEB，∴∠FBE＝∠FEB，∴EF＝BF，∴四边形BGEF是菱形．∵E为CD的中点，AD＝2，BC＝12，∴EF＝12(AD＋BC)＝12×(2＋12)＝7，∴四边形BGEF的周长＝4×7＝28.第21讲┃梯形7．[2013·淄博]如图21－14，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.图21－14第21讲┃梯形证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.第21讲┃梯形8．[2013·深圳]如图21－15，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，延长BC至E，使得CE＝AD，连接DE.(1)求证：BD＝DE；(2)若AC⊥BD，AD＝3，S梯形ABCD＝16，试求AB的长．图21－15第21讲┃梯形解：(1)证明：∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD.又AD∥BC，CE＝AD，∴四边形ACED为平行四边形，∴AC＝DE，∴BD＝DE.第21讲┃梯形(2)过点D作DF⊥BE于点F，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴S△ABD＝S△ACD.又四边形ACED为平行四边形，∴S△ACD＝S△EDC，∴S△ABD＝S△ACD＝S△EDC，故S梯形ABCD＝S△BDE＝16.又AC⊥BD，AC∥DE，则∠BDE＝90°，由(1)知BD＝DE，故而△BDE为等腰直角三角形，∴12BD2＝16，从而BD＝DE＝42，则DF＝EF＝42×22＝4.∴FC＝EF－CE＝EF－AD＝4－3＝1.从而AB＝DC＝DF2＋CF2＝42＋1＝17.第21讲┃梯形1.如图21－16，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是()图21－16A．40°B．45°C．50°D．60°C第21讲┃梯形2．如图21－17，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是________．图21－17第21讲┃梯形60°[解析]∵BD⊥CD，点E是BC的中点，∴DE是直角三角形BDC的中线，∴DE＝BE＝EC＝12BC.∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形，∴AB＝DE.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD，∴DC＝12BC.又∵△BDC是直角三角形，∴∠DBC＝30°，∴∠BCD＝60°.第21讲┃梯形3．如图21－18，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．图21－18第21讲┃梯形解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴GC＝AD，∴BG＝BC－AD＝4－1＝3，∵AG∥DC，∠C＝45°，∴∠BGA＝45°.在Rt△ABG中，AG＝2BG2＝2.∵EF∥DC∥AG，∴EFAG＝BEAB＝12，∴EF＝12AG＝322第21讲┃梯形